40
muokkausta
(Sortattu kurssit tasoittain) |
|||
Rivi 4: | Rivi 4: | ||
== Kurssit == | == Kurssit == | ||
= Perusopinnot = | = Perusopinnot = | ||
== Analyysin peruskurssi == | |||
(10 op, syksy) | |||
=== Esitietovaatimukset === | |||
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi. | |||
=== Sisältö === | |||
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat. | |||
=== Soveltuvuus === | |||
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä. | |||
Monet ovat nähneet kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä. | |||
== Analyysi I ja II == | |||
(10+10+2 op, syksy+kevät) | |||
= | === Esitietovaatimukset === | ||
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa. | |||
=== Sisältö === | |||
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista. | |||
Analyysi II:n keskeiset aiheet ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin. | |||
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta. | |||
Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa. | |||
= | === Soveltuvuus === | ||
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto. | |||
= Aineopinnot = | |||
== Algebra I == | == Algebra I == | ||
Rivi 50: | Rivi 55: | ||
Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista. | Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista. | ||
== | == Vektorianalyysi == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä | |||
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä. | |||
=== Sisältö === | |||
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta. | |||
=== Soveltuvuus === | |||
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi. | |||
== Johdatus diskreettiin matematiikkaan == | |||
(5 op, syksy, periodi II) | |||
=== Esitietovaatimukset === | |||
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille. | |||
=== Sisältö === | |||
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta. | |||
''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.'' | |||
=== Soveltuvuus === | |||
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa | |||
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä | |||
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden | |||
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon | |||
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai | |||
vaihtoehtoisesti esitietokoe). | |||
== Logiikka I == | |||
(10 op, kevät) | |||
=== Esitietovaatimukset === | |||
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi. | |||
=== Sisältö === | |||
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.) | |||
Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla. | |||
=== Soveltuvuus === | |||
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle | |||
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy | |||
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi | |||
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat | |||
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu | |||
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen. | |||
== Mitta ja integraali == | |||
(6 op, kevät) | |||
=== Esitietovaatimukset === | |||
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä. | |||
=== Sisältö === | |||
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja | |||
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan | |||
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu | |||
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään | |||
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan | |||
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien | |||
määritelmien perusteella. | |||
=== Soveltuvuus === | |||
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa | |||
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista | |||
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä | |||
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita. | |||
== Topologia I == | |||
(10 op, kevät) | |||
=== Esitietovaatimukset === | |||
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. | |||
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien | |||
käyminen ennen tätä on suositeltavaa. | |||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja | |||
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia | |||
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin | |||
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi. | |||
Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan. | |||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin | |||
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei | |||
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin | |||
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää | |||
oppimäärään. | |||
= Syventävät opinnot = | |||
== Verkkoteoria == | |||
(10 op, suoritetaan loppukokeella) | |||
=== Esitietovaatimukset === | |||
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi. | |||
=== Sisältö === | |||
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan | |||
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä. | |||
=== Soveltuvuus === | |||
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä | |||
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien | |||
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole | |||
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa | |||
opiskella kun siihen on mahdollisuus. | |||
== | == Todennäköisyysteoria == | ||
(10 | (10 op, kevät) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]. | |||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään | |||
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi | |||
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat | |||
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. | |||
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys | |||
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle. | |||
=== Soveltuvuus === | |||
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien | |||
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja | |||
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan | |||
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi | |||
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä. | |||
== Reaalianalyysi I == | |||
(6 op, kevät) | |||
=== Esitietovaatimukset === | |||
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]]. | |||
=== Sisältö === | |||
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta | |||
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, | |||
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville | |||
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi | |||
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin | |||
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan. | |||
Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä | |||
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään | |||
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti | |||
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä | |||
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla | |||
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä. | |||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat | |||
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin | |||
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen | |||
sisällöstä tai soveltuvuudesta. | |||
== | == Matemaattinen logiikka == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[# | Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen. | ||
=== Sisältö === | |||
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty. | |||
=== Soveltuvuus === | |||
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat. | |||
== Laskettavuuden teoria == | |||
(10 op, satunnaisesti) | |||
=== Esitietovaatimukset === | |||
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen | |||
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti | |||
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n | |||
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden | |||
teoria on hyötyä. | |||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon | |||
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat | |||
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan | |||
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan | |||
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin | |||
luentomuistiinpanoihin. | |||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia. | |||
= Vanhat kurssit = | |||
Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. | |||
== Diskreetti matematiikka I == | == Diskreetti matematiikka I == | ||
Rivi 139: | Rivi 309: | ||
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen | tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen | ||
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille. | kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille. | ||
== Lineaarialgebra I == | == Lineaarialgebra I == | ||
Rivi 229: | Rivi 359: | ||
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella | lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella | ||
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia. | lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia. | ||
== Optimointi I == | == Optimointi I == | ||
Rivi 302: | Rivi 380: | ||
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I | numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I | ||
varmastikin hyödyllinen kurssi. | varmastikin hyödyllinen kurssi. | ||
== Todennäköisyyslaskenta I == | == Todennäköisyyslaskenta I == | ||
Rivi 348: | Rivi 399: | ||
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella | järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella | ||
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää. | matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää. | ||
muokkausta