Ero sivun ”Matematiikan kurssit” versioiden välillä

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

Huom.: vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L^p-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla

Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen

Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä

tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.