Satunnainen esimerkki induktiotodistuksesta

Fuksiwikistä
Versio hetkellä 5. syyskuuta 2007 kello 22.07 – tehnyt Sini (keskustelu | muokkaukset)
Pohditaan, miten todistetaan induktiolla että sigma ( k = 0, n ) = n(n+1)(n+2) / 3, 
oli n mitä tahansa.

Induktiossa on aina kaksi vaihetta: ykkösvaiheessa todistetaan että väite pätee jollain oikealla numerolla, joka valitaan sopivasti. Kakkosvaiheessa todistetaan, että väite voidaan pumpata aina yhdestä numerosta sitä seuraavaan - eli todistetaan, että jos induktio-oletetaan että väite pätee numerolla x (matemaatikot vaihtelevat kirjaimiaan), silloin voidaan todistaa että väite pätee numerolla x+1 myös. Näistä kahdesta seuraa, että väite pätee siitä alkunumerosta lähtien jokaisella numerolla, ja induktioperiaatteen mukaan se silloin pätee kaikilla numeroilla.

Itse induktioperiaate on huijaus, jolla pärjätään äärettömyyden kanssa. Kun kukaan ei oikein tiennyt, voiko jotain sanoa "kaikista (tiettyä suuremmista)" vain sen perusteella että "aina yhtä isompi" on jonkinlainen, sovittiin matematiikassa että tästä seuraa että kaikista voidaan sanoa jotain, koska se kuulostaakin jokseenkin järkevältä valtaosalle väestöstä. :) Induktiota on selitetty mukavasti Turistina matematiikassa -kiertueella.

Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei saa mitään irti): sigma ( k = 0, 0 ) { k(k+1) } = 0(0+1)(0+2) / 3

                    0(0+1)   = 0/3
                           0 = 0

Kakkosvaihe: oletetaan että toimii kun n = x jollekin x (ja me tiedetään että jollakin x se toimii koska just todistettiin että vaikkapa x = 0 toimii). Todistetaan tän pohjalta että toimii myös kun n = x + 1 eli yhtä isompi.

Oletuksen perusteella me tiedetään että (korvataan n = x)

sigma ( k = 0, x ) { k(k+1) } = x(x+1)(x+2) / 3 ilman mitään ongelmia, ei tarvi ees siivota.

Nyt me halutaan todistaa että (korvataan n = x+1)

sigma ( k = 0, x+1 ) { k(k+1) } = (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3

Tavoite: jaetaan sigma kahteen palaan (sen saa aina jakaa kahtia niin, että ensin juoksutetaan juoksutusnumeroa johonkin välietappiin, ja sitten etappi+1:stä loppuun asti), esmers

  sigma ( k = 0, y ) { k(k+1) } on sama kuin (oletetaan että z < y on hyvä välietappi)
  sigma ( k = 0, z ) { k(k+1) } + sigma ( k = z+1, y ) { k(k+1) }

Ja jaetaan se niin, että se toinen jäljelle jäävä sigma on ton oletuksen sigma, jotta me voidaan annihiloida se korvaamalla se oletuksesta saadun kaavan oikealla puolella, jota on paljon helpompi käpistellä.

Tehtiin jako:

sigma ( k = 0, x ) { k(k+1) } + sigma ( k = x+1, x+1 ) { k(k+1) } :ksi.

Koska tehtiin aiemmin oletus tosta sigma(k=0,x):stä, ja tehdyt oletukset pitää aina maailman tappiin, me voidaan nyt heittää se mäkeen ja korvata se sillä mitä me oletettiin sen olevan, eli x(x+1)(x+2)/3:lla. Saadaan

x(x+1)(x+2)/3 + sigma ( k = x+1, x+1 ) { k(k+1) }.

Kakkosvaiheen väite oli siis että tämä hirviö olisi sama kuin (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3.

Meillä on vielä riesanamme yksi sigma, mutta onneksi se on helppo - k menee x+1:stä x+1:een itseensä, mikä tarkoittaa sitä ettei sigmaa tarvita - sijoitetaan vain k = x+1. Saadaan toissarivistä:

x(x+1)(x+2)/3 + (x+1)((x+1) + 1)

ja meidän pitäis todistaa että se on sama kuin

(x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3, joka on kakkosvaiheen väitteen oikea puoli.

Tässä vaiheessa ollaan käytetty induktiotodistuksen peukalosäännöt loppuun ja siirrytään ihan perusveivaukseen, miten yhdestä saadaan toisen näköinen.

Helpointa on siivota molemmat puolet ihan perusmuotoonsa, jolloin niitä yleensä voi vaan verrata ja todeta että ne on samat. Matemaatikot tosin arvostaa enemmän, jos veivaa koko ajan konsistentisti vain yhtä puolta, ja lopulta näyttää ta-daa että se on sama kuin se toinen puoli, koska tällöin ne voi helpommin vakuuttua siitä ettei niitä oo huijattu jollain oikean puolen vääränlaisella puliveivauksella (kuten kertomalla kaikki nollalla). Nekin tosin salaa voi tehdä sen niin että siivoaa molemmat ensin perusmuotoonsa ja sitten vertaa että ne on samat, ja tekee sen "oikean puolen" siivoamisen takaperin parissa nopeutetussa askeleessa vasemmalle puolelle jotta se näyttää suoraan siltä oikealta puolelta.

Loppuun on tyylikästä sanoa että ykkös- ja kakkosvaiheen sekä induktioperiaatteen nojalla alkuperäinen väite on todistettu, jotta kaikki tietävät mihin asti päästiin.