70
muokkausta
Ero sivun ”Satunnainen esimerkki induktiotodistuksesta” versioiden välillä
Satunnainen esimerkki induktiotodistuksesta (näytä wikiteksti)
Versio 18. heinäkuuta 2022 kello 11.33
, 1 vuosi sittenLisätty luokkaan Matematiikka
Ei muokkausyhteenvetoa |
p (Lisätty luokkaan Matematiikka) |
||
| (6 välissä olevaa versiota 2 käyttäjän tekeminä ei näytetä) | |||
| Rivi 1: | Rivi 1: | ||
[[Category:Matematiikka]] | |||
Jos ihan periaate on hukassa, katso ensin [http://fi.wikipedia.org/wiki/P%C3%A4%C3%A4ttely#Induktiivinen_p.C3.A4.C3.A4ttely Induktiivisen päättelyn periaate filosofiassa], ja [http://fi.wikipedia.org/wiki/Matemaattinen_induktio matemaattisen induktion määritelmä]. | |||
<pre> | |||
Pohditaan, miten todistetaan induktiolla että sigma ( k = 0, n ) = n(n+1)(n+2) / 3, | |||
oli n mitä tahansa. | |||
</pre> | |||
Induktiossa on aina kaksi vaihetta: ykkösvaiheessa todistetaan että väite pätee jollain | |||
oikealla numerolla, joka valitaan sopivasti. Kakkosvaiheessa todistetaan, että väite | |||
voidaan pumpata aina yhdestä numerosta sitä seuraavaan - eli todistetaan, että jos | |||
induktio-oletetaan että väite pätee numerolla x (matemaatikot vaihtelevat kirjaimiaan), | |||
silloin voidaan todistaa että väite pätee numerolla x+1 myös. Näistä kahdesta seuraa, | |||
että väite pätee siitä alkunumerosta lähtien jokaisella numerolla, ja induktioperiaatteen | |||
mukaan se silloin pätee kaikilla numeroilla. | |||
Itse induktioperiaate on huijaus, jolla pärjätään äärettömyyden kanssa. Kun kukaan ei oikein | |||
tiennyt, voiko jotain sanoa "kaikista (tiettyä suuremmista)" vain sen perusteella että | |||
"aina yhtä isompi" on jonkinlainen, sovittiin matematiikassa että tästä seuraa että kaikista | |||
voidaan sanoa jotain, koska se kuulostaakin jokseenkin järkevältä valtaosalle väestöstä. :) | |||
Induktiota on selitetty mukavasti [http://solmu.math.helsinki.fi/1997/1/retki.html Turistina matematiikassa] -kiertueella, kunhan formaaliin ilmaisuun tottuu. | |||
<pre> | <pre> | ||
Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n | Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n | ||
| Rivi 52: | Rivi 74: | ||
Tässä vaiheessa ollaan käytetty induktiotodistuksen peukalosäännöt loppuun ja siirrytään ihan perusveivaukseen, miten yhdestä saadaan toisen näköinen. | Tässä vaiheessa ollaan käytetty induktiotodistuksen peukalosäännöt loppuun ja siirrytään ihan perusveivaukseen, miten yhdestä saadaan toisen näköinen. | ||
Helpointa on siivota molemmat puolet ihan perusmuotoonsa, jolloin niitä yleensä voi vaan verrata ja todeta että ne on samat. Matemaatikot tosin arvostaa enemmän, jos veivaa koko ajan | Helpointa on siivota molemmat puolet ihan perusmuotoonsa, jolloin niitä yleensä voi | ||
konsistentisti vain yhtä puolta, ja lopulta näyttää ta-daa että se on sama kuin se toinen | vaan verrata ja todeta että ne on samat. Matemaatikot tosin arvostaa enemmän, jos | ||
veivaa koko ajan konsistentisti vain yhtä puolta, ja lopulta näyttää ta-daa että se on | |||
sama kuin se toinen puoli, koska tällöin ne voi helpommin vakuuttua siitä ettei niitä oo | |||
huijattu jollain oikean puolen vääränlaisella puliveivauksella (kuten kertomalla kaikki | |||
nollalla). Nekin tosin salaa voi tehdä sen niin että siivoaa molemmat ensin perusmuotoonsa | |||
ja sitten vertaa että ne on samat, ja tekee sen "oikean puolen" siivoamisen takaperin parissa | ja sitten vertaa että ne on samat, ja tekee sen "oikean puolen" siivoamisen takaperin parissa | ||
nopeutetussa askeleessa vasemmalle puolelle jotta se näyttää suoraan siltä oikealta puolelta. | nopeutetussa askeleessa vasemmalle puolelle jotta se näyttää suoraan siltä oikealta puolelta. | ||