70
muokkausta
Ero sivun ”Muistisääntöjä matematiikan oudoille merkinnöille ja termeille” versioiden välillä
Muistisääntöjä matematiikan oudoille merkinnöille ja termeille (näytä wikiteksti)
Versio 18. heinäkuuta 2022 kello 11.32
, 1 vuosi sittenLisätty luokkaan Matematiikka
p (Lisätty luokkaan Matematiikka) |
|||
| (12 välissä olevaa versiota 3 käyttäjän tekeminä ei näytetä) | |||
| Rivi 1: | Rivi 1: | ||
[[Category:Matematiikka]] | |||
Kerro tällä sivulla kummallisimmat, erikoisimmat mutta erityisesti mieleenjäävimmät muistisääntösi erinäisille abstrakteille asioille joita diskreetissä viljellään. | Kerro tällä sivulla kummallisimmat, erikoisimmat mutta erityisesti mieleenjäävimmät muistisääntösi erinäisille abstrakteille asioille joita diskreetissä viljellään. | ||
| Rivi 20: | Rivi 21: | ||
* Relaatiota voi merkitä joukkona järjestettyjä pareja, esim. '''{ (a,b), (c,d) } kuuluu R:ään'''. | * Relaatiota voi merkitä joukkona järjestettyjä pareja, esim. '''{ (a,b), (c,d) } kuuluu R:ään'''. | ||
* '''x R y''' viittaa esitystapaan, joka on tuttu esim. x = y, x < y ja x hates y -relaatioista. | * '''x R y''' viittaa esitystapaan, joka on tuttu esim. x = y, x < y ja x hates y -relaatioista. | ||
* Relaation voi piirtää myös graafina eli verkkona eli pampuloina ja nuolina. '''x nuoli y''' vastaa silloin yhtä (x,y) -paria relaation joukossa. | * Relaation voi piirtää myös graafina eli verkkona eli pampuloina ja nuolina. '''x nuoli y''' vastaa silloin yhtä (x,y) -paria relaation joukossa. | ||
* Verkkoesitystavan lähisukulainen on taulukko, jossa parien osapuolet löytyvät riveiltä ja sarakkeilta, ja '''ruksi ruudussa''' tarkoittaa että kyseisen rivin ja sarakkeen pari kuuluu joukkoon. Rivien ja sarakkeiden merkityksen voi valita miten tykkää, kunhan sen selvittää itselleen ja niille keille sitä selittää. Eli esimerkki: | * Verkkoesitystavan lähisukulainen on taulukko, jossa parien osapuolet löytyvät riveiltä ja sarakkeilta, ja '''ruksi ruudussa''' tarkoittaa että kyseisen rivin ja sarakkeen pari kuuluu joukkoon. Rivien ja sarakkeiden merkityksen voi valita miten tykkää, kunhan sen selvittää itselleen ja niille keille sitä selittää. Eli esimerkki: | ||
| Rivi 42: | Rivi 43: | ||
* '''Antisymmetrisyys''' tarkoittaa sitä, että jos a,b ja b,a, niin silloin väkisinkin a=b. Esimerkiksi pienempi-tai-yhtäsuuri-kuin on antisymmetrinen relaatio. | * '''Antisymmetrisyys''' tarkoittaa sitä, että jos a,b ja b,a, niin silloin väkisinkin a=b. Esimerkiksi pienempi-tai-yhtäsuuri-kuin on antisymmetrinen relaatio. | ||
** Antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa olevat alkiot jotka ovat erehtyneet rakastumaan johonkuhun muuhun ((a,b) ja a ei sama kuin b) eivät voi koskaan saada tältä vastarakkautta. Itseään rakastavat narsistit ja ei ketään rakastavat ovat myös ok antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa, samoin kolmiodraamat ((a,b), (b,c), (c,a)), kunhan kukaan ei saa suoraan vastarakkautta. | ** Antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa olevat alkiot jotka ovat erehtyneet rakastumaan johonkuhun muuhun ((a,b) ja a ei sama kuin b) eivät voi koskaan saada tältä vastarakkautta. Itseään rakastavat narsistit ja ei ketään rakastavat ovat myös ok antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa, samoin kolmiodraamat ((a,b), (b,c), (c,a)), kunhan kukaan ei saa suoraan vastarakkautta. | ||
** Vielä esimerkki luvuilla pieni-tai-yhtäsuuri-kuin (<=)-relaation antisymmetrisyydestä. Jos on kaksi lukua '''a''' ja '''b''' ja pätee '''a <= b''' ''ja'' '''b <= a''', niin selvästi on pakko olla '''a = b'''. Lukuhan ei voi olla samaan aikaan jotain toista lukua aidosti pienempi JA suurempi. | |||
Kuten tästä näemme, narsistit ja erakot sopivat aina joukkoon, oli meno symmetristä tai antisymmetristä, koska silloin meitä kiinnostaa lähinnä miten väki suhtautuu toisiinsa. | Kuten tästä näemme, narsistit ja erakot sopivat aina joukkoon, oli meno symmetristä tai antisymmetristä, koska silloin meitä kiinnostaa lähinnä miten väki suhtautuu toisiinsa. | ||
* '''Täydellisyys''' tarkoittaa sitä, että kaikille a ja b, joissa a != b (eli eri kuin), on joko (a,b) relaatiossa tai (b,a). Esimerkiksi kaikki erisuuruusvertailut (<, >, jne) ovat täydellisiä kun vastassa on normaaleja lukuja. Niistä saadaan epätäydellisiä lähinnä heittämällä sekaan joku Casper, jota ei voi vertailla. | * '''Täydellisyys''' tarkoittaa sitä, että kaikille a ja b, joissa a != b (eli eri kuin), on joko (a,b) relaatiossa tai (b,a). Esimerkiksi kaikki erisuuruusvertailut (<, >, jne) ovat täydellisiä kun vastassa on normaaleja lukuja. Niistä saadaan epätäydellisiä lähinnä heittämällä sekaan joku Casper, jota ei voi vertailla. Samoin jos ajatellaan perusjoukkoa '''{1,2,3}''' ja siinä määriteltyä relaatiota '''R = {(1,2), (1,1)}''', niin havaitaan että R ei ole täydellinen. Joukon alkio 3 ei kuulu mihinkään vertailupareista. | ||
** Saippuasarjan käsikirjoittajan kannalta täydellinen rakkausrelaatio on sellainen, jossa ihan joka hahmo (eli alkio) joko rakastaa toista hahmoa tai sitten kyseinen toinen hahmo rakastaa sitä (täydellisyyteen sopii myös molemminpuolisuus | ** Saippuasarjan käsikirjoittajan kannalta täydellinen rakkausrelaatio on sellainen, jossa ihan joka hahmo (eli alkio) joko rakastaa toista hahmoa tai sitten kyseinen toinen hahmo rakastaa sitä (täydellisyyteen sopii myös molemminpuolisuus). Itseään rakastavia narsisteja voi olla osa tai olla olematta, mutta erakkoja ei suvaita. Tällöin saadaan maksimimäärä ihme säätöä aikaiseksi annetulla näyttelijämäärällä. | ||
* '''Refleksiivisyys''' tarkoittaa sitä, että kaikille a, a R a. Esimerkiksi = on tällainen relaatio erinäisille lukujärjestelmille. | * '''Refleksiivisyys''' tarkoittaa sitä, että kaikille a, a R a. Esimerkiksi = on tällainen relaatio erinäisille lukujärjestelmille. | ||
** Refleksiivisessä rakkausrelaatiossa kaikki viettävät ainakin jonkin verran aikaa tuijotellen kuvajaistaan (reflection), eli ovat itseään rakastavia narsisteja. Saavat toki rakastaa vapaa-ajallaan myös muita kuin itseään. (Esimerkiksi täydellinen ja reflektiivinen rakkausrelaatio on ihmissuhdeverkkona kuvattuna ihme häkkyrä, jossa on joka suuntaan viivoja ja joka pisteessä vielä itseen osoittava pampula.) | ** Refleksiivisessä rakkausrelaatiossa kaikki viettävät ainakin jonkin verran aikaa tuijotellen kuvajaistaan (reflection), eli ovat itseään rakastavia narsisteja. Saavat toki rakastaa vapaa-ajallaan myös muita kuin itseään. (Esimerkiksi täydellinen ja reflektiivinen rakkausrelaatio on ihmissuhdeverkkona kuvattuna ihme häkkyrä, jossa on joka suuntaan viivoja ja joka pisteessä vielä itseen osoittava pampula.) | ||
** Luentomateriaalissa määritelty '''Delta_X'''-relaatio on selvästi määritelmänsä mukaan refleksiivinen. Sehän määriteltiin joukkona '''Delta_X = {(x,x) : x kuuluu perusjoukkoon}'''. | |||
=Kuvaukset= | |||
Kuvaus on erikoistapaus relaatiosta. Kuvauksessa relaation toisessa päässä on aina yksikäsitteisesti määrättävissä oleva alkio. Siis jos F on kuvaus ja pätee '''F(x) = y''' ''ja'' '''F(x) = z''', niin '''y = z'''. Kuvauksia ei kuitenkaan kannata välttämättä ajatella relaatioina, vaan eräänlaisina ''koneina'' jotka liittävät kahden joukon alkiota toisiinsa tietyllä säännöllä. Jos meillä on kuvaus '''F''' joukolta '''X''' joukkoon '''Y''', merkitään '''F: X -> Y'''. Joukkoa '''X''' sanotaan ''lähtöjoukoksi'' ja joukoa '''Y''' ''maalijoukoksi''. Alkion '''x \kuuluu X''' ''kuva kuvauksessa'' '''F''' on alkio '''y \kuuluu Y''' ja sitä merkitään ' '''F(X) = y''' '. | |||
* Esimerkki: '''F: R -> R''', missä määritellään '''F(x) = 2x'''. Näin määritelty kuvaus on siis reaalilukujoukossa määritelty kuvaus joka kuvaa reaaliluvun reaaliluvulle. Kuvauksessa alkion '''x''' kuva on alkio '''2*x'''. Siis esimerkiksi F(4) = 2 * 4 = 8. | |||
* Esimerkki: Olkoon '''A = { x : x on ihminen }''' ja ''' B = {'joo', 'ei'} ''' ja kuvaus '''F: A -> B''' missä F(x) = 'joo' jos '''x''' on nainen ja 'ei' jos '''x''' on mies. Näin määritelty kuvaus on edellä olevassa mielessä hyvin määritelty, ja kertoo siis ihmiestä onko hän nainen vai mies. Kuvauksen "säännön" ei siis tarvitse olla mikään matemaattisella lausekkeella ilmaistava ehto. | |||
== Kuvausten ominaisuuksia == | |||
Kirjottakaa tähän, injektio, surjektio, bijektio... | |||