Ero sivun ”Matematiikan sivuaineopinnoista” versioiden välillä

Fuksiwikistä
Ei muokkausyhteenvetoa
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 4: Rivi 4:
* [[Millaista matematiikkaa opinnoissa tarvitaan|Missä sitä tarvitaan]]
* [[Millaista matematiikkaa opinnoissa tarvitaan|Missä sitä tarvitaan]]


'''Näiden sivujen tiedot ovat joiltakin osin vanhentuneita.''' Paremmin tietävät voivat päivittää lisää. -tjo
Nämä kirjoitukset on tarkoitettu auttamaan tietojenkäsittelytieteen fukseja matematiikan sivuaineopintojen aloittamisessa ja sopivien kurssien valitsemisessa. Ne tarjoavat myös erään näkemyksen siitä, mitä jotkut matematiikan kurssit pitävät sisällään ja kuinka relevantteja ne ovat käpistelijän kannalta. Annettuihin neuvoihin kannattaa kuitenkin suhtautua varauksella, sillä alkuperäinen kirjoittaja (Jouni Siren) on päättänyt lukea matematiikkaa keskivertoa laajemman pääaineoppimäärän verran.


Nämä sivut ovat forkkaus Jounin alkuperäisistä kirjoituksista, jotka aikoinaan löytyivät osoitteesta http://cs.helsinki.fi/u/jltsiren/matematiikka/ (nyt linkki vaikuttaisi ohjaavan tänne). Tekstiä on lähinnä päivitetty vastaamaan paremmin syksyllä 2005 voimaan tullutta tutkintojärjestelmää.
== Miksi matematiikkaa kannattaa opiskella? ==
Monilla käpistelijöillä on tunnetusti kielteinen asenne matematiikkaa kohtaan. Matematiikan kurssit tuntuvat usein teoreettisilta ja olevan vailla kosketuspintaa tietojenkäsittelytieteeseen. Matematiikan laitoksen kurssitarjontaa pidetään pelkästään matemaatikoille suunnattuna. Kuitenkin opintojen loppuvaiheessa useimmat huomaavat, että matematiikan opiskeleminen oli todellakin tarpeellista opintojen kannalta.


''Nämä kirjoitukset on tarkoitettu auttamaan tietojenkäsittelytieteen fukseja matematiikan sivuaineopintojen aloittamisessa ja sopivien kurssien valitsemisessa. Ne tarjoavat myös erään näkemyksen siitä, mitä jotkut matematiikan kurssit pitävät sisällään ja kuinka relevantteja ne ovat käpistelijän kannalta. Annettuihin neuvoihin kannattaa kuitenkin suhtautua varauksella, sillä kirjoittaja on päättänyt lukea matematiikkaa keskivertoa laajemman pääaineoppimäärän verran.''
On totta, ettei Matematiikan laitos tarjoa sellaista opetusta, mitä käpistelijät tarvitsevat. Kuitenkin niin kauan kuin laitoksellamme ei ole resursseja ja/tai halua järjestää omia matematiikan kursseja, tämän ongelman kanssa on yritettävä tulla toimeen. Parhaiten soveltuvien kurssien valitseminen heti alusta asti on olennaista, varsinkin jos aikomuksena ei ole opiskella matematiikkaa sen itsensä takia. Nämä kirjoitukset pyrkivät osaltaan helpottamaan oikeiden kurssien löytämistä.


== Miksi matematiikkaa kannattaa opiskella ==
Tietojenkäsittelytieteessä on kieltämättä monia osa-alueita, joilla perinteistä matematiikkaa tarvitaan vain vähän tai ei lainkaan. Käyttöliittymätutkimus ja ohjelmistotuotanto ovat eräitä esimerkkejä tällaisista aloista. Nekään eivät ole vapaita matematiikasta eivätkä etenkään matemaattisesta ajattelusta. Kaikilla tietojenkäsittelytieteen osa-alueilla on keskeistä samankaltainen abstraktioiden ja analogioiden etsiminen kuin matematiikassakin. Teknisemmillä osa-alueilla matemaattista täsmällisyyttä tarvitaan erityisen paljon, sillä tietokoneet eivät tunnetusti tee sitä mitä niiden halutaan tekevän, vaan mitä niiden käsketään tekevän. Toimiva tietokone tekee asiat täsmälleen niin kuin on käsketty, jolloin pienimmätkin virheet suunnittelussa tai toteutuksessa voivat olla kriittisiä.


Monilla käpistelijöillä on tunnetusti kielteinen asenne matematiikkaa kohtaan.
Matemaattisen ajattelun lisäksi tarvitaan myös matematiikan osaamista. Tietojenkäsittelytieteestä ei valmistuta pelkäksi ohjelmistotuotanto- tai tietokanta-asiantuntijaksi, vaan tuoreella maisterilla on oltava myös laajat perustiedot kaikilta tietojenkäsittelytieteen osa-alueilta. Tietojenkäsittelytiede syntyi loogikoiden ajatusleikkinä ja eriytyi matematiikasta omaksi tieteenalakseen vasta joitain vuosikymmeniä sitten. Sen monet osa-alueet ovat edelleen tiiviissä yhteydessä matematiikkaan, eikä niiden perusteidenkaan ymmärtäminen ole mahdollista ilman lukiomatematiikkaa syvempää matematiikan osaamista.
Matematiikan kurssit tuntuvat usein teoreettisilta ja olevan vailla
kosketuspintaa tietojenkäsittelytieteeseen. Matematiikan laitoksen
kurssitarjontaa pidetään pelkästään matemaatikoille suunnattuna. Kuitenkin
viimeistään laudatur-vaiheessa useimmat huomaavat, että matematiikan
opiskeleminen oli todellakin tarpeellista opintojen kannalta.


On totta, ettei Matematiikan laitos tarjoa sellaista opetusta, mitä
Matematiikan taitoja tarvitaan tietojenkäsittelytieteen opinnoissa jo varhaisessa vaiheessa. Malliopintosuunnitelmassa ensimmäisen vuoden keväälle sijoitetut Tietorakenteet ja Tietokantojen perusteet ovat
käpistelijät tarvitsevat. Kuitenkin niin kauan kuin laitoksellamme ei ole
esimerkkejä tällaisista kursseista. Toisena opiskeluvuonna matematiikkaa tarvitaan jo ainakin Laskennan malleissa ja Rinnakkaisohjelmoinnissa. Monet näistä kursseista tulevat vastaan jo nopeammin, jos esimerkiksi ohjelmointikokemusta löytyy ajalta ennen yliopistoon tuloa. Lisätietoja tietojenkäsittelytieteen kurssien matemaattisista esitietovaatimuksista ja -suosituksista löytyy [[Millaista matematiikkaa opinnoissa tarvitaan|omalta sivultaan]].
resursseja ja/tai halua järjestää omia matematiikan kursseja, tämän
ongelman kanssa on yritettävä tulla toimeen. Parhaiten soveltuvien kurssien
valitseminen heti alusta asti on olennaista, varsinkin jos aikomuksena ei
ole opiskella matematiikkaa sen itsensä takia. Nämä kirjoitukset pyrkivät
osaltaan helpottamaan oikeiden kurssien löytämistä.


Tietojenkäsittelytieteessä on kieltämättä monia osa-alueita, joilla
Antti Valmarin artikkeli [http://www.cs.tut.fi/~ava/kirjoitelmia/Arkhimedes01.html Matematiikan tarve ohjelmistotyössä] tarjoaa erään näkemyksen siitä, millaista matematiikkaa tietojenkäsittelytieteessä tarvitaan ja miksi nykyinen tarjonta ei vastaa tarvetta. Artikkeli nostaa esiin monia hyviä pointteja, vaikka yksityiskohdista voikin olla eri mieltä.
perinteistä matematiikkaa tarvitaan vain vähän tai ei lainkaan.
Käyttöliittymätutkimus ja ohjelmistotuotanto ovat eräitä esimerkkejä
tällaisista aloista. Nekään eivät ole vapaita matematiikasta eivätkä
etenkään matemaattisesta ajattelusta. Kaikilla tietojenkäsittelytieteen
osa-alueilla on keskeistä samankaltainen abstraktioiden ja analogioiden
etsiminen kuin matematiikassakin. Teknisemmillä osa-alueilla matemaattista
täsmällisyyttä tarvitaan erityisen paljon, sillä tietokoneet eivät
tunnetusti tee sitä mitä niiden halutaan tekevän, vaan mitä niiden
''käsketään'' tekevän. Toimiva tietokone tekee
asiat täsmälleen niin kuin on käsketty, jolloin pienimmätkin virheet
suunnittelussa tai toteutuksessa voivat olla kriittisiä.
 
Matemaattisen ajattelun lisäksi tarvitaan myös matematiikan osaamista.
Tietojenkäsittelytieteestä ei valmistuta pelkäksi ohjelmistotuotanto- tai
tietokanta-asiantuntijaksi, vaan tuoreella maisterilla on oltava myös
laajat perustiedot kaikilta tietojenkäsittelytieteen osa-alueilta.
Tietojenkäsittelytiede syntyi loogikoiden ajatusleikkinä ja eriytyi
matematiikasta omaksi tieteenalakseen vasta joitain vuosikymmeniä sitten.
Sen monet osa-alueet ovat edelleen tiiviissä yhteydessä matematiikkaan,
eikä niiden perusteidenkaan ymmärtäminen ole mahdollista ilman
lukiomatematiikkaa syvempää matematiikan osaamista.
 
Matematiikan taitoja tarvitaan tietojenkäsittelytieteen opinnoissa jo
varhaisessa vaiheessa. Malliopintosuunnitelmassa ensimmäisen vuoden
keväälle sijoitetut Tietorakenteet ja Tietokantojen perusteet ovat
esimerkkejä tällaisista kursseista. Toisena opiskeluvuonna matematiikkaa
tarvitaan jo ainakin Rinnakkaisohjelmoinnissa ja Laskennan malleissa. Monet
näistä kursseista tulevat vastaan jo nopeammin, jos esimerkiksi
ohjelmointikokemusta löytyy ajalta ennen yliopistoon tuloa. Lisätietoja
tietojenkäsittelytieteen kurssien matemaattisista esitietovaatimuksista ja
-suosituksista löytyy
[[Millaista matematiikkaa opinnoissa tarvitaan|omalta sivultaan]].
 
Antti Valmarin artikkeli [http://www.cs.tut.fi/~ava/kirjoitelmia/Arkhimedes01.html Matematiikan
tarve ohjelmistotyössä] tarjoaa erään näkemyksen siitä, millaista
matematiikkaa tietojenkäsittelytieteessä tarvitaan ja miksi nykyinen
tarjonta ei vastaa tarvetta. Artikkeli nostaa esiin monia hyviä pointteja,
vaikka yksityiskohdista voikin olla eri mieltä.


== Pari neuvoa ==
== Pari neuvoa ==
Ensimmäinen neuvo on ilmeinen: Lue huolella sekä tietojenkäsittelytieteen että matematiikan opinto-oppaat. Niistä löytyy paljon hyödyllistä informaatiota, joka on ensimmäisellä lukukerralla jäänyt huomaamatta, koska asioita ei silloin
ymmärtänyt. Myös Limeksen vaihtoehtoinen Älä Hätäile -opas sisältää runsaasti hyödyllistä tietoa, vaikka matematiikan osuus onkin kirjoitettu matemaatikon näkökulmasta.


Ensimmäinen neuvo on ilmeinen: lue huolella sekä tietojenkäsittelytieteen että
Jos jokin asia tuntuu vaikealta, syy saattaa hyvinkin olla siinä, että asia on vaikea. Ongelman kanssa ei kuitenkaan kannata tuskailla yksin, vaan siihen kannattaa etsiä apua. Muut samalla kurssilla olevat tai sen jo käyneet opiskelijat ovat yksi vaihtoehto. Matematiikan laitoksella heitä kannattanee etsiä opiskelijahuoneesta, joka löytyy Exactumin 3. kerroksesta huoneesta C338 (Komero). Tietojenkäsittelytieteen laitoksella voi suunnata Gurulaan, jonka vakioasukkaat päinvastaisista huhuista huolimatta myös opiskelevat.
matematiikan opinto-oppaat. Niistä löytyy paljon hyödyllistä informaatiota, joka
on ensimmäisellä lukukerralla jäänyt huomaamatta, koska asioita ei silloin
ymmärtänyt. Myös Limeksen vaihtoehtoinen Älä Hätäile -opas sisältää runsaasti
hyödyllistä tietoa, vaikka matematiikan osuus onkin kirjoitettu matemaatikon
näkökulmasta.


* [http://www.helsinki.fi/ml/opinto-opas/s047-069.pdf Matematiikka]
Vielä yksi neuvo: Nuku riittävästi. Vaikka 5-6 tunnin yöunilla pärjääkin pitkään, opiskeleminen on huomattavasti helpompaa ja motivoivampaa hyvin nukkuneena. Matematiikan opiskeleminen vaatii aivan toisella tavalla
* [http://cs.helsinki.fi/opinnot/opinto-opas/ Tietojenkäsittelytiede]
keskittymistä kuin monesta muusta aineesta tuttu tiiliskivien selailu ja esseiden kirjoittaminen. Kirjoissa ja monisteissa on vähän sivuja, mutta se vähä on tiivistä asiaa ja tulee osaamisen lisäksi myös ymmärtää. Kymmenen sivua tunnissa on jo kova lukutahti ja kertoo siitä, ettei mitään ongelmakohtia ole tullut vastaan.
 
Jos jokin asia tuntuu vaikealta, syy saattaa hyvinkin olla siinä, että asia
on vaikea. Ongelman kanssa ei kuitenkaan kannata tuskailla yksin, vaan
siihen kannattaa etsiä apua. Muut samalla kurssilla olevat tai sen jo
käyneet opiskelijat ovat yksi vaihtoehto. Matematiikan laitoksella heitä
kannattanee etsiä opiskelijahuoneesta, joka löytyy Exactumin 3. kerroksesta
huoneesta C338 (Komero). Tietojenkäsittelytieteen laitoksella voi suunnata Gurulaan,
jonka vakioasukkaat päinvastaisista huhuista huolimatta myös opiskelevat.
 
Vielä yksi neuvo: nuku riittävästi. Vaikka 5–6 tunnin yöunilla pärjääkin
pitkään, opiskeleminen on huomattavasti helpompaa ja motivoivampaa hyvin
nukkuneena. Matematiikan opiskeleminen vaatii aivan toisella tavalla
keskittymistä kuin monesta muusta aineesta tuttu tiiliskivien selailu ja
esseiden kirjoittaminen. Kirjoissa ja monisteissa on vähän sivuja, mutta se
vähä on tiivistä asiaa ja tulee osaamisen lisäksi myös ymmärtää. Kymmenen
sivua tunnissa on jo kova lukutahti ja kertoo siitä, ettei mitään
ongelmakohtia ole tullut vastaan.


== Kurssien suorittaminen ==
== Kurssien suorittaminen ==
Matematiikan kurssien suorittamiseen on kaksi vaihtoehtoista tapaa: luentokurssi laskareineen ja kurssikokeineen sekä erilliskoe. Luentokurssilla luentoja on tyypillisesti neljä tai viisi tuntia viikossa koko lukukauden ajan, minkä
lisäksi on laskuharjoituksia kahden viikkotunnin verran. Sekä luennot että laskuharjoitukset ovat vapaaehtoisia, mutta laskareissa käymisestä saa yleensä jonkin verran ylimääräisiä pisteitä kurssikoepisteiden päälle.


Matematiikan kurssien suorittamiseen on kaksi vaihtoehtoista tapaa: luentokurssi
Kurssikokeiden etuna on, että tyypillinen kymmenen opintopisteen kurssi jaetaan kahteen tai kolmeen osaan, jolloin kokeeseen on vähemmän luettavaa. Toisaalta matematiikan koealueet eivät yleensä ole kovin laajoja — opintopistettä kohti luettavaa tulee vain 10-20 sivua. Vaikka suurin osa tästä täytyykin osata, useimmat kurssit pystyy suorittamaan erilliskokeella huomattavan vähällä vaivalla. On järkevää kokeilla kurssien suorittamista sekä kurssikokeilla että erilliskokeella, jotta löytäisi itselleen parhaiten sopivan opiskelutekniikan.
laskareineen ja kurssikokeineen sekä erilliskoe. Luentokurssilla luentoja on
tyypillisesti neljä tai viisi tuntia viikossa koko lukukauden ajan, minkä
lisäksi on laskuharjoituksia kahden viikkotunnin verran. Sekä luennot että
laskuharjoitukset ovat vapaaehtoisia, mutta laskareissa käymisestä saa yleensä
jonkin verran ylimääräisiä pisteitä kurssikoepisteiden päälle.


Kurssikokeiden etuna on, että tyypillinen kymmenen opintopisteen kurssi jaetaan
Matematiikan yleistenttejä järjestetään helmi-, heinä- ja syyskuuta lukuunottamatta joka kuukausi. Syksyisin luennoitavat kurssit voi tenttiä loka-, tammi- tai huhtikuussa, kevään kurssit taas marras-, maalis- tai toukokuussa.
kahteen tai kolmeen osaan, jolloin kokeeseen on vähemmän luettavaa. Toisaalta
Joulukuun tentti on varattu joillekin syventävien opintojen kursseille, kun taas kesän tenteissä voi suorittaa minkä kurssin tahansa. Tentteihin ilmoittaudutaan WebOodissa tai kirjallisesti matematiikan laitoksen kansliassa (Exactumissa huone C329).
matematiikan koealueet eivät yleensä ole kovin laajoja — opintopistettä kohti
luettavaa tulee vain 10–20 sivua. Vaikka suurin osa tästä täytyykin osata,
useimmat kurssit pystyy suorittamaan erilliskokeella huomattavan vähällä
vaivalla. On järkevää kokeilla kurssien suorittamista sekä kurssikokeilla
että erilliskokeella, jotta löytäisi itselleen parhaiten sopivan
opiskelutekniikan.
 
Matematiikan yleistenttejä järjestetään helmi-, heinä- ja syyskuuta lukuun
ottamatta joka kuukausi. Syksyisin luennoitavat kurssit voi tenttiä loka-,
tammi- tai huhtikuussa, kevään kurssit taas marras-, maalis- tai toukokuussa.
Joulukuun tentti on varattu joillekin syventävien opintojen kursseille, kun taas kesän
tenteissä voi suorittaa minkä kurssin tahansa. Tentteihin ilmoittaudutaan WebOodissa
tai kirjallisesti matematiikan laitoksen kansliassa (Exactumissa huone C329).


== Matemaattinen kielenkäyttö ja ajattelu ==
== Matemaattinen kielenkäyttö ja ajattelu ==
Opettele lukemaan ja kirjoittamaan matematiikkaa. Se mikä näyttää harjaantumattomalle silmälle vain läjältä käsittämättömiä koukeroita, on todellisuudessa tekstiä, jota luetaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. On
totta, että matemaattinen kieli pyrkii tiiviyteen ja täsmällisyyteen selkeyden ja luettavuuden kustannuksella. Yksi ainoa symboli saattaa tarkoittaa sanaa, lausetta tai kokonaista kappaletta. Täsmällisyyttä korostetaan myös käyttämällä aina samoja fraaseja samassa tilanteessa.


Opettele lukemaan ja kirjoittamaan matematiikkaa. Se mikä näyttää
Kannattaa muistaa, että järkeviä symboleita on paljon vähemmän kuin matemaattisia käsitteitä, muuttujista puhumattakaan. Niinpä samoja symboleita käytetään, uudelleenkäytetään ja väärinkäytetään tarkoittamaan lukuisia eri asioita. Niinpä onkin aina hyvä selittää symboleiden merkitys sanallisesti, jos se ei ole selvä kontekstin perusteella.
harjaantumattomalle silmälle vain läjältä käsittämättömiä koukeroita, on
todellisuudessa tekstiä, jota luetaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. On
totta, että matemaattinen kieli pyrkii tiiviyteen ja täsmällisyyteen selkeyden
ja luettavuuden kustannuksella. Yksi ainoa symboli saattaa tarkoittaa sanaa,
lausetta tai kokonaista kappaletta. Täsmällisyyttä korostetaan myös käyttämällä
aina samoja fraaseja samassa tilanteessa.


Kannattaa muistaa, että järkeviä symboleita on paljon vähemmän kuin
Muista, ettet tee vaikutusta keneenkään käyttämällä matemaattista kieltä. Symboleiden ja lyhenteiden runsas käyttö synnyttää helposti vaikutelman, ettei kirjoittaja itsekään tunne asiaa kunnolla, vaan yrittää peittää sitä korostetun matemaattisella kielenkäytöllä. Kaikenlaiset pienet tyylirikot ja poikkeamat vakiintuneista käytännöistä paljastavat kuitenkin kokemattomuuden. Jos jonkin asian voi ilmaista lyhyesti ja täsmällisesti myös suomeksi, niin
matemaattisia käsitteitä, muuttujista puhumattakaan. Niinpä samoja symboleita
kannattaa tehdä. Assarisetä tai -täti arvostaa sitä ja saattaa jopa muistaa sinua pisteillä.
käytetään, uudelleenkäytetään ja väärinkäytetään tarkoittamaan lukuisia eri
asioita. Niinpä onkin aina hyvä selittää symboleiden merkitys sanallisesti, jos
se ei ole selvä kontekstin perusteella.


Muista, ettet tee vaikutusta keneenkään käyttämällä matemaattista kieltä.
Täsmällinen matemaattinen kieli antaa helposti kuvan siitä, että matemaattinen ajattelu olisi mekaanista ja tiukasti rajattua. Tämä mielikuva on kuitenkin selvästi väärä. Vaikka joidenkin väitetään pystyvän ajattelemaan formaalisti, useimmat tarvitsevat intuitiivisen idean matemaattisesta tuloksesta tai rakenteesta pystyäkseen hyödyntämään sitä. Voidaan siis hyvällä syyllä sanoa, että matemaattinen ajattelu tapahtuu pääosin intuitiivisella tasolla.
Symboleiden ja lyhenteiden runsas käyttö synnyttää helposti vaikutelman, ettei
kirjoittaja itsekään tunne asiaa kunnolla, vaan yrittää peittää sitä
korostetun matemaattisella kielenkäytöllä. Kaikenlaiset pienet tyylirikot ja
poikkeamat vakiintuneista käytännöistä paljastavat kuitenkin kokemattomuuden.
Jos jonkin asian voi ilmaista lyhyesti ja täsmällisesti myös suomeksi, niin
kannattaa tehdä. Assarisetä tai -täti arvostaa sitä ja saattaa jopa muistaa
sinua pisteillä.


Täsmällinen matemaattinen kieli antaa helposti kuvan siitä, että
Täsmällisyyttäkin tarvitaan. Intuitiivisesti hyvältä näyttävä idea ei välttämättä toimi, ellei tilannetta rajoita jollain tavalla. Osan rajoitteista pystyy löytämään intuitiivisesti, mutta rajoitteiden täydentämiseen ja niiden riittävyyden osoittamiseen tarvitaan yleensä täsmällisempää otetta. Matemaattisen ajattelun "mekaaninen" puoli astuu tässä kohdassa mukaan peliin.
matemaattinen ajattelu olisi mekaanista ja tiukasti rajattua. Tämä
mielikuva on kuitenkin selvästi väärä. Vaikka joidenkin väitetään pystyvän
ajattelemaan formaalisti, useimmat tarvitsevat intuitiivisen idean
matemaattisesta tuloksesta tai rakenteesta pystyäkseen hyödyntämään sitä.
Voidaan siis hyvällä syyllä sanoa, että matemaattinen ajattelu tapahtuu
pääosin intuitiivisella tasolla.


Täsmällisyyttäkin tarvitaan. Intuitiivisesti hyvältä näyttävä idea ei
Matemaattiset ideat ovat usein monimutkaisia ja monivivahteisia. Niiden välittäminen ihmiseltä toiselle edellyttää, että vastaanottaja ymmärtää perusidean lisäksi myös yksityiskohdat ja vivahteet. Koska ihmisten välinen viestintä on luonnostaan epämääräistä ja häviöllistä, tarvitaan matemaattisten ideoiden välittämiseen jokin riittävän täsmällinen ja rajoitettu kieli. Vaikka matemaattinen kieli ei kuvastakaan kovin hyvin matemaattista ajattelua, ei hyviä vaihtoehtoja ole olemassa.
välttämättä toimi, ellei tilannetta rajoita jollain tavalla. Osan
rajoitteista pystyy löytämään intuitiivisesti, mutta rajoitteiden
täydentämiseen ja niiden riittävyyden osoittamiseen tarvitaan yleensä
täsmällisempää otetta. Matemaattisen ajattelun "mekaaninen" puoli astuu
tässä kohdassa mukaan peliin.
 
Matemaattiset ideat ovat usein monimutkaisia ja monivivahteisia. Niiden
välittäminen ihmiseltä toiselle edellyttää, että vastaanottaja ymmärtää
perusidean lisäksi myös yksityiskohdat ja vivahteet. Koska ihmisten välinen
viestintä on luonnostaan epämääräistä ja häviöllistä, tarvitaan
matemaattisten ideoiden välittämiseen jokin riittävän täsmällinen ja
rajoitettu kieli. Vaikka matemaattinen kieli ei kuvastakaan kovin hyvin
matemaattista ajattelua, ei hyviä vaihtoehtoja ole olemassa.


== Muita näkökulmia ==
== Muita näkökulmia ==
Matematiikan opiskelu kannattaa aloittaa hyvissä ajoin, koska se kehittää matemaattista ajattelukykyä, josta on hyötyä lähes kaikilla TKTL:n kurseilla varsinkin laudatur-vaiheessa. Lisäksi joidenkin kurssien (esim. [[Matematiikan kurssit#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Diskreetti matematiikka I]] ja [[Matematiikan kurssit#Logiikka I|Logiikka I]]) varsinaiset asiat ovat kävelleet vastaan muutamilla tietojenkäsittelytieteen kurseilla.


Matematiikan opinnoista on luonnollisesti yhtä monta mielipidettä kuin
Matematiikan "keskiverto" opiskelija pääsee kursseista läpi, jos jaksaa avata kirjan, mutta tavoitellessaan muutakin kuin läpipääsyä on tällöin syytä varata ''aikaa'' lukemiseen ja laskareiden tekoon. Myös motivaation olisi hyvä olla kunnossa.
opiskelijoitakin. Jotta kirjoittajan tutkimussuuntautuneisuus ei antaisi
lukijalle liian värittyneitä käsityksiä, alla on muilta tutoreilta saatuja
mielipiteitä ja kommentteja.
 
=== Eero Kaipiainen ===
 
Matematiikan opiskelu kannattaa aloittaa hyvissä ajoin, koska se kehittää
matemaattista ajattelukykyä, josta on hyötyä lähes kaikilla TKTL:n
kurseilla varsinkin laudatur-vaiheessa. Lisäksi joidenkin kurssien (esim.
[[Matematiikan kurssit#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Diskreetti matematiikka I]] ja
[[Matematiikan kurssit#Logiikka I|Logiikka I]]) varsinaiset asiat ovat kävelleet vastaan muutamilla TKTL:n kurseilla.
 
Matematiikan "keskiverto" opiskelija pääsee kursseista läpi, jos jaksaa
avata kirjan, mutta tavoitellessaan muutakin kuin läpipääsyä on tällöin
syytä varata ''aikaa'' lukemiseen ja laskareiden
tekoon. Myös motivaation olisi hyvä olla kunnossa.
 
 
Jouni Siren
 
<small>(Päivittänyt Tomi Jylhä-Ollila)</small>

Versio 15. kesäkuuta 2009 kello 21.57

Nämä kirjoitukset on tarkoitettu auttamaan tietojenkäsittelytieteen fukseja matematiikan sivuaineopintojen aloittamisessa ja sopivien kurssien valitsemisessa. Ne tarjoavat myös erään näkemyksen siitä, mitä jotkut matematiikan kurssit pitävät sisällään ja kuinka relevantteja ne ovat käpistelijän kannalta. Annettuihin neuvoihin kannattaa kuitenkin suhtautua varauksella, sillä alkuperäinen kirjoittaja (Jouni Siren) on päättänyt lukea matematiikkaa keskivertoa laajemman pääaineoppimäärän verran.

Miksi matematiikkaa kannattaa opiskella?

Monilla käpistelijöillä on tunnetusti kielteinen asenne matematiikkaa kohtaan. Matematiikan kurssit tuntuvat usein teoreettisilta ja olevan vailla kosketuspintaa tietojenkäsittelytieteeseen. Matematiikan laitoksen kurssitarjontaa pidetään pelkästään matemaatikoille suunnattuna. Kuitenkin opintojen loppuvaiheessa useimmat huomaavat, että matematiikan opiskeleminen oli todellakin tarpeellista opintojen kannalta.

On totta, ettei Matematiikan laitos tarjoa sellaista opetusta, mitä käpistelijät tarvitsevat. Kuitenkin niin kauan kuin laitoksellamme ei ole resursseja ja/tai halua järjestää omia matematiikan kursseja, tämän ongelman kanssa on yritettävä tulla toimeen. Parhaiten soveltuvien kurssien valitseminen heti alusta asti on olennaista, varsinkin jos aikomuksena ei ole opiskella matematiikkaa sen itsensä takia. Nämä kirjoitukset pyrkivät osaltaan helpottamaan oikeiden kurssien löytämistä.

Tietojenkäsittelytieteessä on kieltämättä monia osa-alueita, joilla perinteistä matematiikkaa tarvitaan vain vähän tai ei lainkaan. Käyttöliittymätutkimus ja ohjelmistotuotanto ovat eräitä esimerkkejä tällaisista aloista. Nekään eivät ole vapaita matematiikasta eivätkä etenkään matemaattisesta ajattelusta. Kaikilla tietojenkäsittelytieteen osa-alueilla on keskeistä samankaltainen abstraktioiden ja analogioiden etsiminen kuin matematiikassakin. Teknisemmillä osa-alueilla matemaattista täsmällisyyttä tarvitaan erityisen paljon, sillä tietokoneet eivät tunnetusti tee sitä mitä niiden halutaan tekevän, vaan mitä niiden käsketään tekevän. Toimiva tietokone tekee asiat täsmälleen niin kuin on käsketty, jolloin pienimmätkin virheet suunnittelussa tai toteutuksessa voivat olla kriittisiä.

Matemaattisen ajattelun lisäksi tarvitaan myös matematiikan osaamista. Tietojenkäsittelytieteestä ei valmistuta pelkäksi ohjelmistotuotanto- tai tietokanta-asiantuntijaksi, vaan tuoreella maisterilla on oltava myös laajat perustiedot kaikilta tietojenkäsittelytieteen osa-alueilta. Tietojenkäsittelytiede syntyi loogikoiden ajatusleikkinä ja eriytyi matematiikasta omaksi tieteenalakseen vasta joitain vuosikymmeniä sitten. Sen monet osa-alueet ovat edelleen tiiviissä yhteydessä matematiikkaan, eikä niiden perusteidenkaan ymmärtäminen ole mahdollista ilman lukiomatematiikkaa syvempää matematiikan osaamista.

Matematiikan taitoja tarvitaan tietojenkäsittelytieteen opinnoissa jo varhaisessa vaiheessa. Malliopintosuunnitelmassa ensimmäisen vuoden keväälle sijoitetut Tietorakenteet ja Tietokantojen perusteet ovat esimerkkejä tällaisista kursseista. Toisena opiskeluvuonna matematiikkaa tarvitaan jo ainakin Laskennan malleissa ja Rinnakkaisohjelmoinnissa. Monet näistä kursseista tulevat vastaan jo nopeammin, jos esimerkiksi ohjelmointikokemusta löytyy ajalta ennen yliopistoon tuloa. Lisätietoja tietojenkäsittelytieteen kurssien matemaattisista esitietovaatimuksista ja -suosituksista löytyy omalta sivultaan.

Antti Valmarin artikkeli Matematiikan tarve ohjelmistotyössä tarjoaa erään näkemyksen siitä, millaista matematiikkaa tietojenkäsittelytieteessä tarvitaan ja miksi nykyinen tarjonta ei vastaa tarvetta. Artikkeli nostaa esiin monia hyviä pointteja, vaikka yksityiskohdista voikin olla eri mieltä.

Pari neuvoa

Ensimmäinen neuvo on ilmeinen: Lue huolella sekä tietojenkäsittelytieteen että matematiikan opinto-oppaat. Niistä löytyy paljon hyödyllistä informaatiota, joka on ensimmäisellä lukukerralla jäänyt huomaamatta, koska asioita ei silloin ymmärtänyt. Myös Limeksen vaihtoehtoinen Älä Hätäile -opas sisältää runsaasti hyödyllistä tietoa, vaikka matematiikan osuus onkin kirjoitettu matemaatikon näkökulmasta.

Jos jokin asia tuntuu vaikealta, syy saattaa hyvinkin olla siinä, että asia on vaikea. Ongelman kanssa ei kuitenkaan kannata tuskailla yksin, vaan siihen kannattaa etsiä apua. Muut samalla kurssilla olevat tai sen jo käyneet opiskelijat ovat yksi vaihtoehto. Matematiikan laitoksella heitä kannattanee etsiä opiskelijahuoneesta, joka löytyy Exactumin 3. kerroksesta huoneesta C338 (Komero). Tietojenkäsittelytieteen laitoksella voi suunnata Gurulaan, jonka vakioasukkaat päinvastaisista huhuista huolimatta myös opiskelevat.

Vielä yksi neuvo: Nuku riittävästi. Vaikka 5-6 tunnin yöunilla pärjääkin pitkään, opiskeleminen on huomattavasti helpompaa ja motivoivampaa hyvin nukkuneena. Matematiikan opiskeleminen vaatii aivan toisella tavalla keskittymistä kuin monesta muusta aineesta tuttu tiiliskivien selailu ja esseiden kirjoittaminen. Kirjoissa ja monisteissa on vähän sivuja, mutta se vähä on tiivistä asiaa ja tulee osaamisen lisäksi myös ymmärtää. Kymmenen sivua tunnissa on jo kova lukutahti ja kertoo siitä, ettei mitään ongelmakohtia ole tullut vastaan.

Kurssien suorittaminen

Matematiikan kurssien suorittamiseen on kaksi vaihtoehtoista tapaa: luentokurssi laskareineen ja kurssikokeineen sekä erilliskoe. Luentokurssilla luentoja on tyypillisesti neljä tai viisi tuntia viikossa koko lukukauden ajan, minkä lisäksi on laskuharjoituksia kahden viikkotunnin verran. Sekä luennot että laskuharjoitukset ovat vapaaehtoisia, mutta laskareissa käymisestä saa yleensä jonkin verran ylimääräisiä pisteitä kurssikoepisteiden päälle.

Kurssikokeiden etuna on, että tyypillinen kymmenen opintopisteen kurssi jaetaan kahteen tai kolmeen osaan, jolloin kokeeseen on vähemmän luettavaa. Toisaalta matematiikan koealueet eivät yleensä ole kovin laajoja — opintopistettä kohti luettavaa tulee vain 10-20 sivua. Vaikka suurin osa tästä täytyykin osata, useimmat kurssit pystyy suorittamaan erilliskokeella huomattavan vähällä vaivalla. On järkevää kokeilla kurssien suorittamista sekä kurssikokeilla että erilliskokeella, jotta löytäisi itselleen parhaiten sopivan opiskelutekniikan.

Matematiikan yleistenttejä järjestetään helmi-, heinä- ja syyskuuta lukuunottamatta joka kuukausi. Syksyisin luennoitavat kurssit voi tenttiä loka-, tammi- tai huhtikuussa, kevään kurssit taas marras-, maalis- tai toukokuussa. Joulukuun tentti on varattu joillekin syventävien opintojen kursseille, kun taas kesän tenteissä voi suorittaa minkä kurssin tahansa. Tentteihin ilmoittaudutaan WebOodissa tai kirjallisesti matematiikan laitoksen kansliassa (Exactumissa huone C329).

Matemaattinen kielenkäyttö ja ajattelu

Opettele lukemaan ja kirjoittamaan matematiikkaa. Se mikä näyttää harjaantumattomalle silmälle vain läjältä käsittämättömiä koukeroita, on todellisuudessa tekstiä, jota luetaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. On totta, että matemaattinen kieli pyrkii tiiviyteen ja täsmällisyyteen selkeyden ja luettavuuden kustannuksella. Yksi ainoa symboli saattaa tarkoittaa sanaa, lausetta tai kokonaista kappaletta. Täsmällisyyttä korostetaan myös käyttämällä aina samoja fraaseja samassa tilanteessa.

Kannattaa muistaa, että järkeviä symboleita on paljon vähemmän kuin matemaattisia käsitteitä, muuttujista puhumattakaan. Niinpä samoja symboleita käytetään, uudelleenkäytetään ja väärinkäytetään tarkoittamaan lukuisia eri asioita. Niinpä onkin aina hyvä selittää symboleiden merkitys sanallisesti, jos se ei ole selvä kontekstin perusteella.

Muista, ettet tee vaikutusta keneenkään käyttämällä matemaattista kieltä. Symboleiden ja lyhenteiden runsas käyttö synnyttää helposti vaikutelman, ettei kirjoittaja itsekään tunne asiaa kunnolla, vaan yrittää peittää sitä korostetun matemaattisella kielenkäytöllä. Kaikenlaiset pienet tyylirikot ja poikkeamat vakiintuneista käytännöistä paljastavat kuitenkin kokemattomuuden. Jos jonkin asian voi ilmaista lyhyesti ja täsmällisesti myös suomeksi, niin kannattaa tehdä. Assarisetä tai -täti arvostaa sitä ja saattaa jopa muistaa sinua pisteillä.

Täsmällinen matemaattinen kieli antaa helposti kuvan siitä, että matemaattinen ajattelu olisi mekaanista ja tiukasti rajattua. Tämä mielikuva on kuitenkin selvästi väärä. Vaikka joidenkin väitetään pystyvän ajattelemaan formaalisti, useimmat tarvitsevat intuitiivisen idean matemaattisesta tuloksesta tai rakenteesta pystyäkseen hyödyntämään sitä. Voidaan siis hyvällä syyllä sanoa, että matemaattinen ajattelu tapahtuu pääosin intuitiivisella tasolla.

Täsmällisyyttäkin tarvitaan. Intuitiivisesti hyvältä näyttävä idea ei välttämättä toimi, ellei tilannetta rajoita jollain tavalla. Osan rajoitteista pystyy löytämään intuitiivisesti, mutta rajoitteiden täydentämiseen ja niiden riittävyyden osoittamiseen tarvitaan yleensä täsmällisempää otetta. Matemaattisen ajattelun "mekaaninen" puoli astuu tässä kohdassa mukaan peliin.

Matemaattiset ideat ovat usein monimutkaisia ja monivivahteisia. Niiden välittäminen ihmiseltä toiselle edellyttää, että vastaanottaja ymmärtää perusidean lisäksi myös yksityiskohdat ja vivahteet. Koska ihmisten välinen viestintä on luonnostaan epämääräistä ja häviöllistä, tarvitaan matemaattisten ideoiden välittämiseen jokin riittävän täsmällinen ja rajoitettu kieli. Vaikka matemaattinen kieli ei kuvastakaan kovin hyvin matemaattista ajattelua, ei hyviä vaihtoehtoja ole olemassa.

Muita näkökulmia

Matematiikan opiskelu kannattaa aloittaa hyvissä ajoin, koska se kehittää matemaattista ajattelukykyä, josta on hyötyä lähes kaikilla TKTL:n kurseilla varsinkin laudatur-vaiheessa. Lisäksi joidenkin kurssien (esim. Diskreetti matematiikka I ja Logiikka I) varsinaiset asiat ovat kävelleet vastaan muutamilla tietojenkäsittelytieteen kurseilla.

Matematiikan "keskiverto" opiskelija pääsee kursseista läpi, jos jaksaa avata kirjan, mutta tavoitellessaan muutakin kuin läpipääsyä on tällöin syytä varata aikaa lukemiseen ja laskareiden tekoon. Myös motivaation olisi hyvä olla kunnossa.