Ero sivun ”Matematiikan kurssit” versioiden välillä

== Algebra I ==

(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan

abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran

=== Sisältö ===

Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet

joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin

=== Soveltuvuus ===

Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason

matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten

== Analyysin peruskurssi ==

(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===

Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii

hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin

teoreettisemmat [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]]. Keskeistä sisältöä ovat

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen

yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi

== Analyysi I ja II ==

(10+10+2 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle

aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin

=== Sisältö ===

Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta,

derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi

vaihtoehto.

== Vektorianalyysi ==

(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä

[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n

=== Sisältö ===

Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===

Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Diskreetti matematiikka I ==

(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===

Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä

matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta,

=== Soveltuvuus ===

Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan

opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==

(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin

teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi

=== Sisältö ===

Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-

alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja

=== Soveltuvuus ===

Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan

tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==

(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===

Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===

Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa

tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä

== Laskettavuuden teoria ==

(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen

ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti

=== Sisältö ===

Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon

näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat

=== Soveltuvuus ===

Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

== Lineaarialgebra I ==

(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes

suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===

Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän

jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,

vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on

== Lineaarialgebra II ==

(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].

Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===

Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis

I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle

on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan

== Logiikka I ==

(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===

Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

=== Soveltuvuus ===

Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle

loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy

== Matemaattinen logiikka ==

(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===

Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===

Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Mitta ja integraali ==

(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===

Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja

kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan

=== Soveltuvuus ===

Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa

matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista

== Optimointi I ==

(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===

Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä

[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===

Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi

käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä

=== Soveltuvuus ===

Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät

runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,

== Reaalianalyysi I ==

(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===

Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta

näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,

=== Soveltuvuus ===

Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat

perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin

== Todennäköisyyslaskenta I ==

(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===

Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria

jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi

=== Soveltuvuus ===

Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi

rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä

== Todennäköisyysteoria ==

(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===

Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään

todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi

=== Soveltuvuus ===

Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien

linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja

== Topologia I ==

(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].

Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien

=== Sisältö ===

Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja

normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia

=== Soveltuvuus ===

Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin

opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei

== Verkkoteoria ==

(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===

Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===

Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan

''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===

Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä

on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien

kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa

opiskella kun siihen on mahdollisuus.