Muistisääntöjä matematiikan oudoille merkinnöille ja termeille

Kerro tällä sivulla kummallisimmat, erikoisimmat mutta erityisesti mieleenjäävimmät muistisääntösi erinäisille abstrakteille asioille joita diskreetissä viljellään.

Joukot

Joukko-opilliset toiminnot

Joukko-opilliset toiminnot on hyvä oppia, koska niihin törmää mm. tietokantojen puolella. Merkinnät on taulukoitu Wikipediassa paremmin.

• Kahden joukon unionia eli liitosta merkitään isolla U:lla, ja kahden joukon leikkausta ylösalaisin-U:lla.
  • U niin kuin Unioni, ylösalaisin-U niin kuin se toinen.
  • Lisäksi kahden joukon unionissa kaikki otetaan mukaan, eli kaikilla on kivaa (hymysuu), kun taas leikkauksessa mukaan pääsee vain molemmissa joukoissa ollut porukka, jolloin monella ei ole kivaa (mutrusuu).
  • Unioni ja leikkaus ovat vähän kuin loogiset operaatiot "tai" ja "ja", joiden merkit ovat vastaavasti V ja ylösalaisin-V. Jos a kuuluu A:han tai B:hen, se otetaan mukaan A unioni B:hen. Jos a kuuluu A:han ja B:hen, se otetaan mukaan A leikkaus B:hen.

Relaatiot

Relaatioiden eri esitystavat

Relaatioita voidaan esittää monella eri tavalla, joilla on hieman epäintuitiivinen yhteys. Sovitaan että R on relaatio.

• Relaatiota voi merkitä joukkona järjestettyjä pareja, esim. { (a,b), (c,d) } kuuluu R:ään.
• x R y viittaa esitystapaan, joka on tuttu esim. x = y, x < y ja x hates y -relaatioista.
• Relaation voi piirtää myös graafina eli verkkona eli pampuloina ja nuolina. x nuoli y vastaa silloin yhtä (x,y) -paria relaation joukossa.
• Verkkoesitystavan lähisukulainen on taulukko, jossa parien osapuolet löytyvät riveiltä ja sarakkeilta, ja ruksi ruudussa tarkoittaa että kyseisen rivin ja sarakkeen pari kuuluu joukkoon. Rivien ja sarakkeiden merkityksen voi valita miten tykkää, kunhan sen selvittää itselleen ja niille keille sitä selittää. Eli esimerkki:

   x     y     z
x        X
y 
z              X

Tässä on siis relaatio, jossa graafina ajateltuna x:n ja y:n välillä on nuoli sekä z:sta menee nuoli itseensä. Mikäli rivit ajatellaan relaation etujäseniksi, tämä relaatio on siis joukko {(x,y), (z,z)}. Toki sarakkeetkin voidaan ajatella etujäseniksi, mutta se siis pitää selvittää itselleen ja ennenkaikkea muille.

Relaation voi vetää myös sellaisesta joukosta, jonka kaikki alkiot eivät kuulu relaatioon. Otetaan esimerkiksi joukko (Jouko, Casper , Maija), jossa Casper on materiaton mutta ystävällinen kummitus. Tätä joukkoa voidaan käyttää relaatiossa PidempiKuin, jossa Maija PidempiKuin Jouko, mutta vertailua ei voida tehdä Casperin kanssa ollenkaan. PidempiKuin = {(Jouko,Maija)}. Casper voisi tällöin olla taulukkoesityksessä rivi ja sarake jolla ei ole yhtään rastia, tai verkkoesityksessä piste joka ei ole yhteydessä mihinkään muuhun pisteeseen.

Relaatioiden ominaisuuksia

Relaatioilla voi olla monenlaisia ominaisuuksia, jotka ovat tosi mystisiä. Muistisäännöiksi The Relation Rules of Luuuuv.

• Symmetrisyys tarkoittaa sitä, että jos a,b niin b,a. Esimerkiksi '=' on symmetrinen relaatio.
  • Symmetrisessä rakkausrelaatiossa olevat alkiot eivät koskaan kärsi yksipuolisesta rakkaudesta. Joku ei välttämättä rakasta ketään, tai rakastaa vain itseään (a,a), mutta jos rakastaa jotakuta muuta (a,b), niin se rakastaa myös takaisin (b,a).
• Antisymmetrisyys tarkoittaa sitä, että jos a,b ja b,a, niin silloin väkisinkin a=b. Esimerkiksi pienempi-tai-yhtäsuuri-kuin on antisymmetrinen relaatio.
  • Antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa olevat alkiot jotka ovat erehtyneet rakastumaan johonkuhun muuhun ((a,b) ja a ei sama kuin b) eivät voi koskaan saada tältä vastarakkautta. Itseään rakastavat narsistit ja ei ketään rakastavat ovat myös ok antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa, samoin kolmiodraamat ((a,b), (b,c), (c,a)), kunhan kukaan ei saa suoraan vastarakkautta.
  • Vielä esimerkki luvuilla pieni-tai-yhtäsuuri-kuin (<=)-relaation antisymmetrisyydestä. Jos on kaksi lukua a ja b ja pätee a <= b ja b <= a, niin selvästi on pakko olla a = b. Lukuhan ei voi olla samaan aikaan jotain toista lukua aidosti pienempi JA suurempi.

Kuten tästä näemme, narsistit ja erakot sopivat aina joukkoon, oli meno symmetristä tai antisymmetristä, koska silloin meitä kiinnostaa lähinnä miten väki suhtautuu toisiinsa.

• Täydellisyys tarkoittaa sitä, että kaikille a ja b, joissa a != b (eli eri kuin), on joko (a,b) relaatiossa tai (b,a). Esimerkiksi kaikki erisuuruusvertailut (<, >, jne) ovat täydellisiä kun vastassa on normaaleja lukuja. Niistä saadaan epätäydellisiä lähinnä heittämällä sekaan joku Casper, jota ei voi vertailla. Samoin jos ajatellaan perusjoukkoa {1,2,3} ja siinä määriteltyä relaatiota R = {(1,2), (1,1)}, niin havaitaan että R ei ole täydellinen. Joukon alkio 3 ei kuulu mihinkään vertailupareista.
  • Saippuasarjan käsikirjoittajan kannalta täydellinen rakkausrelaatio on sellainen, jossa ihan joka hahmo (eli alkio) joko rakastaa toista hahmoa tai sitten kyseinen toinen hahmo rakastaa sitä (täydellisyyteen sopii myös molemminpuolisuus). Itseään rakastavia narsisteja voi olla osa tai olla olematta, mutta erakkoja ei suvaita. Tällöin saadaan maksimimäärä ihme säätöä aikaiseksi annetulla näyttelijämäärällä.

• Refleksiivisyys tarkoittaa sitä, että kaikille a, a R a. Esimerkiksi = on tällainen relaatio erinäisille lukujärjestelmille.
  • Refleksiivisessä rakkausrelaatiossa kaikki viettävät ainakin jonkin verran aikaa tuijotellen kuvajaistaan (reflection), eli ovat itseään rakastavia narsisteja. Saavat toki rakastaa vapaa-ajallaan myös muita kuin itseään. (Esimerkiksi täydellinen ja reflektiivinen rakkausrelaatio on ihmissuhdeverkkona kuvattuna ihme häkkyrä, jossa on joka suuntaan viivoja ja joka pisteessä vielä itseen osoittava pampula.)
  • Luentomateriaalissa määritelty Delta_X-relaatio on selvästi määritelmänsä mukaan refleksiivinen. Sehän määriteltiin joukkona Delta_X = {(x,x) : x kuuluu perusjoukkoon}.

Kuvaukset

Kuvaus on erikoistapaus relaatiosta. Kuvauksessa relaation toisessa päässä on aina yksikäsitteisesti määrättävissä oleva alkio. Siis jos F on kuvaus ja pätee F(x) = y ja F(x) = z, niin y = z. Kuvauksia ei kuitenkaan kannata välttämättä ajatella relaatioina, vaan eräänlaisina koneina jotka liittävät kahden joukon alkiota toisiinsa tietyllä säännöllä. Jos meillä on kuvaus F joukolta X joukkoon Y, merkitään F: X -> Y. Joukkoa X sanotaan lähtöjoukoksi ja joukoa Y maalijoukoksi. Alkion x \kuuluu X kuva kuvauksessa F on alkio y \kuuluu Y ja sitä merkitään ' F(X) = y '.

• Esimerkki: F: R -> R, missä määritellään F(x) = 2x. Näin määritelty kuvaus on siis reaalilukujoukossa määritelty kuvaus joka kuvaa reaaliluvun reaaliluvulle. Kuvauksessa alkion x kuva on alkio 2*x. Siis esimerkiksi F(4) = 2 * 4 = 8.

• Esimerkki: Olkoon A = { x : x on ihminen } ja B = {'joo', 'ei'} ja kuvaus F: A -> B missä F(x) = 'joo' jos x on nainen ja 'ei' jos x on mies. Näin määritelty kuvaus on edellä olevassa mielessä hyvin määritelty, ja kertoo siis ihmiestä onko hän nainen vai mies. Kuvauksen "säännön" ei siis tarvitse olla mikään matemaattisella lausekkeella ilmaistava ehto.

Kuvausten ominaisuuksia

Kirjottakaa tähän, injektio, surjektio, bijektio...