Matematiikan kurssit

• Matematiikka
• Kursseja
• Opintosuunnitelmia
• Missä sitä tarvitaan

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan erään matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleen tietojenkäsittelytieteen opiskelijan mielipiteinä.

• Algebra I
• Analyysin peruskurssi
• Analyysi I ja II
• Diskreetti matematiikka I
• Diskreetti matematiikka II
• Johdatus diskreettiin matematiikkaan
• Laskettavuuden teoria
• Lineaarialgebra I
• Lineaarialgebra II
• Logiikka I
• Matemaattinen logiikka
• Mitta ja integraali
• Optimointi I
• Reaalianalyysi I
• Todennäköisyyslaskenta I
• Todennäköisyysteoria
• Topologia I
• Vektorianalyysi
• Verkkoteoria

Algebra I

(10 op, kevät)

Esitietovaatimukset

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

Sisältö

Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

Soveltuvuus

Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

Analyysin peruskurssi

(10 op, syksy)

Esitietovaatimukset

Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

Sisältö

Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisemmat Analyysi I ja II. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat. Kurssi korvaa aikaisemmin luennoitujen Approbatur-kurssien differentiaali- ja integraalilaskennan osuuden, ja sitä on joissain yhteyksissä kutsuttu myös nimellä Tietokoneavusteinen matematiikka.

Soveltuvuus

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

Analyysin peruskurssi on saanut nykymuodossaan osakseen kovasti kritiikkiä. Kurssin verkkomateriaali on jossain hämmentävässä poropietariformaatissa, eikä muuta luentomonistetta ole, mikä tekee itseopiskelusta tavallista hankalampaa. Toisaalta monet ovat nähneet kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

Analyysi I ja II

(10+10+2 op, syksy+kevät)

(vastaa aiempaa kurssia Differentiaali- ja integraalilaskenta I)

Esitietovaatimukset

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

Sisältö

Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää — kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta — valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Analyysi II:n keskeiset aiheet ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

Lauri Myrbergin kirjat Differentiaali- ja integraalilaskenta, osat I ja II eivät ole oppimateriaalina kovin optimaalisia. Ne sopivat kyllä hakuteoksiksi, mutta kuvien puute ja muutenkin epähavainnollinen lähestymistapa tekevät niiden lukemisen turhan raskaaksi. Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

Soveltuvuus

Analyysi I ja II sekä Analyysin peruskurssi käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Vektorianalyysi

(10 op, syksy)

(vastaa aiempaa kurssia Differentiaali- ja integraalilaskenta II)

Esitietovaatimukset

Analyysi I ja II sekä Lineaarialgebra I. Myös Topologia I:n tiedoista on hyötyä.

Sisältö

Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

Soveltuvuus

Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

Diskreetti matematiikka I

(10 op, kevät)

Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen Johdatus diskreettiin matematiikkaan

Esitietovaatimukset

Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

Sisältö

Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

Soveltuvuus

Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

Diskreetti matematiikka II

(10 op, syksy)

Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.

Esitietovaatimukset

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. Diskreetti matematiikka I lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

Sisältö

Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa- alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja Todennäköisyyslaskenta I), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

Soveltuvuus

Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

Johdatus diskreettiin matematiikkaan

(5 op, syksy, periodi II)

Esitietovaatimukset

Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

Sisältö

Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

Paremmin tietävät voivat tarkentaa.

Soveltuvuus

Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Laskettavuuden teoria

(10 op, satunnaisesti)

Esitietovaatimukset

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti Matemaattisesta logiikasta ja TKTL:n kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden teoria on hyötyä.

Sisältö

Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin.

Soveltuvuus

Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Lineaarialgebra I

(10 op, syksy)

Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.

Esitietovaatimukset

Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

Sisältö

Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

Soveltuvuus

Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

Lineaarialgebra II

(10 op, syksy)

Esitietovaatimukset

Lineaarialgebra I. Lisäksi Algebra I on vahvasti suositeltava.

Sisältö

Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

Soveltuvuus

Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

Logiikka I

(10 op, kevät)

Esitietovaatimukset

Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

Sisältö

Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja Johdatus logiikkaan on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

Soveltuvuus

Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

Matemaattinen logiikka

(10 op, syksy)

Esitietovaatimukset

Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta Logiikka I on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

Sisältö

Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa Matemaattinen logiikka, mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

Soveltuvuus

Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

Mitta ja integraali

(6 op, kevät)

Esitietovaatimukset

Vektorianalyysi. Topologia I:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

Sisältö

Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

Soveltuvuus

Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

Optimointi I

(10 op, syksy)

Esitietovaatimukset

Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta Analyysin peruskurssi tai Analyysi I ja II, sekä Lineaarialgebra I. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta Vektorianalyysi on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

Sisältö

Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

Soveltuvuus

Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

Reaalianalyysi I

(6 op, kevät)

Esitietovaatimukset

Mitta ja integraali.

Sisältö

Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L^p-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

Soveltuvuus

Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen sisällöstä tai soveltuvuudesta.

Todennäköisyyslaskenta I

(10 op, kevät)

Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.

Esitietovaatimukset

Joko Analyysi I ja II tai Analyysin peruskurssi. Kurssista Vektorianalyysi on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

Sisältö

Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin Mitta ja integraali laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja Todennäköisyyslaskenta on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

Soveltuvuus

Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Todennäköisyysteoria

(10 op, kevät)

Esitietovaatimukset

Mitta ja integraali ja Todennäköisyyslaskenta I.

Sisältö

Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

Soveltuvuus

Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

Topologia I

(10 op, kevät)

Esitietovaatimukset

Analyysi I. Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

Sisältö

Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin Algebra I. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja Topologia I sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin Diskreetti I diskreettiin matematiikkaan.

Soveltuvuus

Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

Verkkoteoria

(10 op, suoritetaan loppukokeella)

Esitietovaatimukset

Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta Diskreetti matematiikka II on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

Sisältö

Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan Graph Theory pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

Soveltuvuus

Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

Jouni Siren

(Päivittänyt Tomi Jylhä-Ollila)