Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n
lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei
saa mitään irti):
sigma ( k = 0, 0 ) { k(k+1) } = 0(0+1)(0+2) / 3
0(0+1) = 0/3
0 = 0
Kakkosvaihe: oletetaan että toimii kun n = x jollekin x (ja me tiedetään että
jollakin x se toimii koska just todistettiin että vaikkapa x = 0 toimii).
Todistetaan tän pohjalta että toimii myös kun n = x + 1 eli yhtä isompi.
Oletuksen perusteella me tiedetään että (korvataan n = x)
sigma ( k = 0, x ) { k(k+1) } = x(x+1)(x+2) / 3 ilman mitään ongelmia, ei tarvi ees siivota.
Nyt me halutaan todistaa että (korvataan n = x+1)
sigma ( k = 0, x+1 ) { k(k+1) } = (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3
Tavoite: jaetaan sigma kahteen palaan (sen saa aina jakaa kahtia niin, että ensin
juoksutetaan juoksutusnumeroa johonkin välietappiin, ja sitten etappi+1:stä loppuun asti),
esmers
sigma ( k = 0, y ) { k(k+1) } on sama kuin (oletetaan että z < y on hyvä välietappi)
sigma ( k = 0, z ) { k(k+1) } + sigma ( k = z+1, y ) { k(k+1) }
Ja jaetaan se niin, että se toinen jäljelle jäävä sigma on ton oletuksen sigma, jotta
me voidaan annihiloida se korvaamalla se oletuksesta saadun kaavan oikealla puolella,
jota on paljon helpompi käpistellä.
Tehtiin jako:
sigma ( k = 0, x ) { k(k+1) } + sigma ( k = x+1, x+1 ) { k(k+1) } :ksi.
Koska tehtiin aiemmin oletus tosta sigma(k=0,x):stä, ja tehdyt oletukset pitää aina
maailman tappiin, me voidaan nyt heittää se mäkeen ja korvata se sillä mitä me
oletettiin sen olevan, eli x(x+1)(x+2)/3:lla. Saadaan
x(x+1)(x+2)/3 + sigma ( k = x+1, x+1 ) { k(k+1) }.
Kakkosvaiheen väite oli siis että tämä hirviö olisi sama kuin (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3.
Meillä on vielä riesanamme yksi sigma, mutta onneksi se on helppo - k menee x+1:stä x+1:een
itseensä, mikä tarkoittaa sitä ettei sigmaa tarvita - sijoitetaan vain k = x+1. Saadaan
toissarivistä:
x(x+1)(x+2)/3 + (x+1)((x+1) + 1)