Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n
lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei
saa mitään irti):
sigma ( k = 0, 0 ) { k(k+1) } = 0(0+1)(0+2) / 3
0(0+1) = 0/3
0 = 0
Kakkosvaihe: oletetaan että toimii kun n = x jollekin x (ja me tiedetään että
jollakin x se toimii koska just todistettiin että vaikkapa x = 0 toimii).
Todistetaan tän pohjalta että toimii myös kun n = x + 1 eli yhtä isompi.
Oletuksen perusteella me tiedetään että (korvataan n = x)
sigma ( k = 0, x ) { k(k+1) } = x(x+1)(x+2) / 3 ilman mitään ongelmia, ei tarvi ees siivota.
Nyt me halutaan todistaa että (korvataan n = x+1)
sigma ( k = 0, x+1 ) { k(k+1) } = (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3
Tavoite: jaetaan sigma kahteen palaan (sen saa aina jakaa kahtia niin, että ensin
juoksutetaan juoksutusnumeroa johonkin välietappiin, ja sitten etappi+1:stä loppuun asti),
esmers
sigma ( k = 0, y ) { k(k+1) } on sama kuin (oletetaan että z < y on hyvä välietappi)
sigma ( k = 0, z ) { k(k+1) } + sigma ( k = z+1, y ) { k(k+1) }
Ja jaetaan se niin, että se toinen jäljelle jäävä sigma on ton oletuksen sigma, jotta
me voidaan annihiloida se korvaamalla se oletuksesta saadun kaavan oikealla puolella,
jota on paljon helpompi käpistellä.