Ero sivun ”Matematiikan sivuaineopinnoista” versioiden välillä

Versio 26. helmikuuta 2011 kello 13.23

Tämä kirjoitus on tarkoitettu auttamaan tietojenkäsittelytieteen fukseja matematiikan sivuaineopintojen aloittamisessa ja sopivien kurssien valitsemisessa. Ne tarjoavat myös erään näkemyksen siitä, mitä jotkut matematiikan kurssit pitävät sisällään ja kuinka relevantteja ne ovat käpistelijän kannalta. Annettuihin neuvoihin kannattaa kuitenkin suhtautua varauksella, sillä alkuperäinen kirjoittaja on päättänyt lukea matematiikkaa keskivertoa laajemman pääaineoppimäärän verran. Tekstin alkuperäisversion on laatinut Jouni Siren. Päivittämiseen ovat osallistuneet ainakin Tomi Jylhä-Ollila ja Anssi Syrjäsalo.

Miksi matematiikkaa kannattaa opiskella?

Monilla käpistelijöillä on tunnetusti kielteinen asenne matematiikkaa kohtaan. Matematiikan kurssit tuntuvat usein teoreettisilta ja olevan vailla kosketuspintaa tietojenkäsittelytieteeseen. Matematiikan laitoksen kurssitarjontaa pidetään pelkästään matemaatikoille suunnattuna. Kuitenkin opintojen loppuvaiheessa useimmat huomaavat, että matematiikan opiskeleminen oli todellakin tarpeellista opintojen kannalta.

On totta, ettei Matematiikan laitos tarjoa sellaista opetusta, mitä käpistelijät tarvitsevat. Kuitenkin niin kauan kuin laitoksellamme ei ole resursseja ja/tai halua järjestää omia matematiikan kursseja, tämän ongelman kanssa on yritettävä tulla toimeen. Parhaiten soveltuvien kurssien valitseminen heti alusta asti on olennaista, varsinkin jos aikomuksena ei ole opiskella matematiikkaa sen itsensä takia.

Tietojenkäsittelytieteessä on kieltämättä monia osa-alueita, joilla perinteistä matematiikkaa tarvitaan vain vähän tai ei lainkaan. Käyttöliittymätutkimus ja ohjelmistotuotanto ovat eräitä esimerkkejä tällaisista aloista. Nekään eivät ole vapaita matematiikasta eivätkä etenkään matemaattisesta ajattelusta. Kaikilla tietojenkäsittelytieteen osa-alueilla on keskeistä samankaltainen abstraktioiden ja analogioiden etsiminen kuin matematiikassakin. Teknisemmillä osa-alueilla matemaattista täsmällisyyttä tarvitaan erityisen paljon, sillä tietokoneet eivät tunnetusti tee sitä mitä niiden halutaan tekevän, vaan mitä niiden käsketään tekevän. Toimiva tietokone tekee asiat täsmälleen niin kuin on käsketty, jolloin pienimmätkin virheet suunnittelussa tai toteutuksessa voivat olla kriittisiä.

Matemaattisen ajattelun lisäksi tarvitaan myös matematiikan osaamista. Tietojenkäsittelytieteestä ei valmistuta pelkäksi ohjelmistotuotanto- tai tietokanta-asiantuntijaksi, vaan tuoreella maisterilla on oltava jokseenkin laajat perustiedot kaikilta tietojenkäsittelytieteen osa-alueilta. Tietojenkäsittelytiede syntyi loogikoiden ajatusleikkinä ja eriytyi matematiikasta omaksi tieteenalakseen vasta joitain vuosikymmeniä sitten. Sen monet osa-alueet ovat edelleen tiiviissä yhteydessä matematiikkaan, eikä niiden perusteidenkaan ymmärtäminen ole mahdollista ilman lukiomatematiikkaa syvempää matematiikan osaamista.

Matematiikan taitoja tarvitaan tietojenkäsittelytieteen opinnoissa jo varhaisessa vaiheessa. Malliopintosuunnitelmassa ensimmäisen vuoden keväälle sijoitetut Tietorakenteet ja Tietokantojen perusteet ovat esimerkkejä tällaisista kursseista. Toisena opiskeluvuonna matematiikkaa tarvitaan jo ainakin Laskennan malleissa ja Rinnakkaisohjelmoinnissa. Lisätietoja tietojenkäsittelytieteen kurssien matemaattisista esitietovaatimuksista ja -suosituksista löytyy omalta sivultaan.

Antti Valmarin artikkeli Matematiikan tarve ohjelmistotyössä tarjoaa erään näkemyksen siitä, millaista matematiikkaa tietojenkäsittelytieteessä tarvitaan ja miksi nykyinen tarjonta ei vastaa tarvetta. Artikkeli nostaa esiin monia hyviä pointteja, vaikka yksityiskohdista voikin olla eri mieltä.

Pari neuvoa

Ensimmäinen neuvo on ilmeinen: Lue huolella sekä tietojenkäsittelytieteen että matematiikan opinto-oppaat. Niistä löytyy paljon hyödyllistä informaatiota, joka on ensimmäisellä lukukerralla jäänyt huomaamatta, koska asioita ei silloin ymmärtänyt. Myös Limeksen Älä Hätäile -opas sisältää hyödyllistä tietoa, vaikka matematiikan osuus onkin kirjoitettu matemaatikon näkökulmasta. Sivulla Matematiikan kurssit on analysoitu, mitkä matematiikan kurssit ovat kiinnostavia tietojenkäsittelytieteilijöiden kannalta.

Jos jokin asia tuntuu vaikealta, syy saattaa hyvinkin olla siinä, että asia on vaikea. Ongelman kanssa ei kuitenkaan kannata tuskailla yksin, vaan siihen kannattaa etsiä apua. Muut samalla kurssilla olevat tai sen jo käyneet opiskelijat ovat yksi vaihtoehto. Matematiikan laitoksella heitä kannattanee etsiä opiskelijahuoneesta, joka löytyy Exactumin 3. kerroksesta huoneesta C338 (Komero). Matematiikan laitoksella pidetään myös laskupajaa, jonne voi mennä hakemaan apua käynnissäolevien kurssien tehtäviin. Tietojenkäsittelytieteen laitoksella voi suunnata Gurulaan, jonka vakioasukkaat päinvastaisista huhuista huolimatta myös opiskelevat.

Vielä yksi neuvo: Nuku riittävästi. Vaikka 5-6 tunnin yöunilla pärjääkin pitkään, opiskeleminen on huomattavasti helpompaa ja motivoivampaa hyvin nukkuneena. Matematiikan opiskeleminen vaatii aivan toisella tavalla keskittymistä kuin monesta muusta aineesta tuttu tiiliskivien selailu ja esseiden kirjoittaminen. Kirjoissa ja monisteissa on vähän sivuja, mutta se vähä on (mahdollisimman) tiivistä asiaa ja tulee osaamisen lisäksi myös ymmärtää. Kymmenen sivua tunnissa on jo kova lukutahti ja kertoo siitä, ettei mitään ongelmakohtia ole tullut vastaan.

Kurssien suorittaminen

Matematiikan kurssien suorittamiseen on kaksi vaihtoehtoista tapaa: 1) luentokurssi laskareineen ja kurssikokeineen tai 2) erilliskoe. Luentokurssilla luentoja on tyypillisesti neljä tai viisi tuntia viikossa koko lukukauden ajan, minkä lisäksi on laskuharjoituksia kahden viikkotunnin verran. Sekä luennot että laskuharjoitukset ovat vapaaehtoisia, mutta laskareissa käymisestä saa yleensä jonkin verran ylimääräisiä pisteitä kurssikoepisteiden päälle. Nämä pisteet voivat osoittautua juuri kriittiseksi kurssin läpäisyn kannalta.

Kurssikokeiden etuna on, että tyypillinen kymmenen opintopisteen kurssi jaetaan kahteen tai kolmeen osaan, jolloin kokeeseen on vähemmän luettavaa. Toisaalta matematiikan koealueet eivät yleensä ole kovin laajoja; opintopistettä kohti luettavaa tulee vain 10-20 sivua. Vaikka suurin osa tästä täytyykin osata, useimmat kurssit pystyy suorittamaan erilliskokeella huomattavan vähällä vaivalla. On järkevää kokeilla kurssien suorittamista sekä kurssikokeilla että erilliskokeella, jotta löytäisi itselleen parhaiten sopivan opiskelutekniikan.

Matematiikan yleistenttejä järjestetään helmi-, heinä- ja syyskuuta lukuunottamatta joka kuukausi. Syksyisin luennoitavat kurssit voi tenttiä loka-, tammi- tai huhtikuussa, kevään kurssit taas marras-, maalis- tai toukokuussa. Joulukuun tentti on varattu joillekin syventävien opintojen kursseille, kun taas kesän tenteissä voi suorittaa minkä kurssin tahansa. Yleistentteihin, kuten matematiikan kursseillekin, ilmoittaudutaan WebOodissa.

Matemaattinen kielenkäyttö ja ajattelu

Opettele lukemaan ja kirjoittamaan matematiikkaa. Se mikä näyttää harjaantumattomalle silmälle vain läjältä käsittämättömiä koukeroita, on todellisuudessa tekstiä, jota luetaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. On totta, että matemaattinen kieli pyrkii tiiviyteen ja täsmällisyyteen selkeyden ja luettavuuden kustannuksella. Yksi ainoa symboli saattaa tarkoittaa sanaa, lausetta tai kokonaista kappaletta. Täsmällisyyttä korostetaan myös käyttämällä aina samoja fraaseja samassa tilanteessa.

Kannattaa muistaa, että järkeviä symboleita on paljon vähemmän kuin matemaattisia käsitteitä, muuttujista puhumattakaan. Niinpä samoja symboleita käytetään, uudelleenkäytetään ja väärinkäytetään tarkoittamaan lukuisia eri asioita. Onkin aina hyvä selittää symboleiden merkitys sanallisesti, jos ei koe sen käyvän (tarkastajalle) selväksi kontekstin perusteella.

Muista, ettet tee vaikutusta keneenkään käyttämällä matemaattista kieltä. Symboleiden ja lyhenteiden runsas käyttö synnyttää helposti vaikutelman, ettei kirjoittaja itsekään tunne asiaa kunnolla, vaan yrittää peittää sitä korostetun matemaattisella kielenkäytöllä. Kaikenlaiset pienet tyylirikot ja poikkeamat vakiintuneista käytännöistä paljastavat kuitenkin kokemattomuuden. Jos jonkin asian voi ilmaista lyhyesti ja täsmällisesti myös suomeksi, niin kannattaa tehdä. Assarisetä tai -täti arvostaa sitä ja saattaa jopa muistaa sinua pisteillä.

Täsmällinen matemaattinen kieli antaa helposti kuvan siitä, että matemaattinen ajattelu olisi mekaanista ja tiukasti rajattua. Tämä mielikuva on kuitenkin selvästi väärä. Vaikka joidenkin väitetään pystyvän ajattelemaan formaalisti, useimmat tarvitsevat intuitiivisen idean matemaattisesta tuloksesta tai rakenteesta pystyäkseen hyödyntämään sitä. Voidaan siis hyvällä syyllä sanoa, että matemaattinen ajattelu tapahtuu pääosin intuitiivisella tasolla.

Täsmällisyyttäkin tarvitaan. Intuitiivisesti hyvältä näyttävä idea ei välttämättä toimi, ellei tilannetta rajoita jollain tavalla. Osan rajoitteista pystyy löytämään intuitiivisesti, mutta rajoitteiden täydentämiseen ja niiden riittävyyden osoittamiseen tarvitaan yleensä täsmällisempää otetta. Matemaattisen ajattelun "mekaaninen" puoli astuu tässä kohdassa mukaan peliin.

Matemaattiset ideat ovat usein monimutkaisia ja monivivahteisia. Niiden välittäminen ihmiseltä toiselle edellyttää, että vastaanottaja ymmärtää perusidean lisäksi myös yksityiskohdat ja vivahteet. Koska ihmisten välinen viestintä on luonnostaan epämääräistä ja häviöllistä, tarvitaan matemaattisten ideoiden välittämiseen jokin riittävän täsmällinen ja rajoitettu kieli. Vaikka matemaattinen kieli ei kuvastakaan kovin hyvin matemaattista ajattelua, ei hyviä vaihtoehtoja ole olemassa.

Yliopistomatematiikka on hyvin poikkeavaa esimerkiksi Aalto-yliopiston teknillisen korkeakoulun "insinöörimatematiikasta". Lukion matematiikka on perusteellisesti juuri insinöörimatematiikkaa. Esimerkiksi matematiikan laitoksen kursseille tyypillinen joukko-opillinen lähestymistapa sivuutetaan pitkän matematiikan oppimäärässäkin kokonaan. Hyvät lukiotiedot eivät takaa menestymistä yliopistomatematiikassa; vastaavasti huonot lukiotiedot eivät takaa, että yliopistomatematiikka olisi erityisen mahdotonta. Menestymisessä (monelle tarkoittaa kurssin läpäisyä) lienee kuitenkin kyse enemmän ennakkoluuloista ja motivaatiosta. Motivaation olisi tietysti hyvä olla kunnossa.

Muita näkökulmia

Matematiikan opiskelu kannattaa aloittaa hyvissä ajoin, koska se kehittää matemaattista ajattelukykyä, josta on hyötyä lähes kaikilla TKTL:n kurseilla varsinkin Algoritmit ja koneoppiminen -linjan syventävissä opinnoissa Lisäksi joidenkin kurssien (esim. Johdatus diskreettiin matematiikkaan ja Logiikka I) varsinaiset asiat ovat kävelleet vastaan myös tietojenkäsittelytieteen perus- ja aineopintojen kursseilla.

Matematiikkaan orientoitunut käpistelijä pääsee kursseista läpi, jos jaksaa avata kirjan, mutta tyypillisen, matematiikkaa hieman vierastavan, tietojenkäsittelijän on syytä varata aikaa erityisesti laskareiden tekoon. Eikä ole ollenkaan tavatonta, että laskaritehtävät tulevat kokeessa vastaan sellaisenaan.

Matematiikan laitoksen aineopintojen kurssit eivät välttämättä ole keskiverto matematiikan pääaineopiskelijallekaan helppoja. Mainittakoon myös, että Johdatus diskreettiin matematiikkaan -kurssin kohdalla läpipääsyprosentti on matematiikan laitoksella ollut jotakuinkin samaa luokkaa kuin meillä tietojenkäsittelytieteen laitoksellakin.

@@ Rivi 1: / Rivi 1: @@
-Minä olin ala-asteella hyvin sosiaalinen ja iloinen lapsi. Tyttöjen kanssa varsinkin leikin usein koulun pihalla. Kävin näytelmäkerhossa, lausuin runoja ja yritin aina auttaa kaikkia.
+Tämä kirjoitus on tarkoitettu auttamaan tietojenkäsittelytieteen fukseja matematiikan sivuaineopintojen aloittamisessa ja sopivien kurssien valitsemisessa. Ne tarjoavat myös erään näkemyksen siitä, mitä jotkut matematiikan kurssit pitävät sisällään ja kuinka relevantteja ne ovat käpistelijän kannalta. Annettuihin neuvoihin kannattaa kuitenkin suhtautua varauksella, sillä alkuperäinen kirjoittaja on päättänyt lukea matematiikkaa keskivertoa laajemman pääaineoppimäärän verran. Tekstin alkuperäisversion on laatinut Jouni Siren. Päivittämiseen ovat osallistuneet ainakin Tomi Jylhä-Ollila ja Anssi Syrjäsalo.
-Tämä "Mr nice guy" leima niskassani alkoi jossain vaiheessa ärsyttää ihmisiä. Monet tyttöjen kanssa hyvästä toimeentulostani kateelliset pojat nimittelivät minua, eivät ottaneet minua jalkapallopeleihin, eivätkä mihinkään muuhunkaan. Mutta vain osa heistä.
-Ala-aste meni nopeasti, näyttelin jokaisessa koulunäytelmässä, pidin usein puheita joita jonkun oppilaan on pakko tehdä. Minulle kerrottiin että minulla on karismaattinen ääni.
-Voitin hymypoikapalkinnon.
-Kun kuudes luokka loppui, oli edessä yläaste Minua pelotti hirveästi, sillä olin kuullut paljon kertomuksia kuinka uusia "mopoja" uitetaan vessanpöntöissä, hakataan käytävillä tai muuten vain nöyryytetään.
-Minua jännitti.
-Mutta yläasteen maailma oli niin uusi ja hieno.
-Tupakanpoltto, viina, seksi.
-Kahden ensimmäisen avulla oli helppo päästä kolmannenkin maailmaan, oli cool juoda ja polttaa, ja tytöt antaa vain cooleille.
-Siispä minäkin halusin olla cool.
-Aloin polttamaan tupakkaa 12-vuotiaana.
-Minä olin vasta viikko sitten täyttänyt 13 kun sain ensimmäisen kerran kunnolla turpaani.
-Olin paikallisessa pikkupuistossa muutaman senaikaisen ystäväni kanssa, me joimme suomen nuorison surunkuuluiisaan tapaan kirkkaita ja meillä oli hillittömän hauskaa. Tämä hauskuus otti muita ihmisiä päähän ilmeisesti.
-Joukkioomme soluittautui kaksi meitä ainakin neljä vuotta vanhempaa poika. Näillä pojilla oli omat kaljakassit, tytöt takana tsemppaamassa ja paljon enemmän massaa heissä kahdessa verrattaen meihin neljään.
-Kaverini olivat kovin jännittyneitä, ilmeisesti he eivät olleet "tarpeeksi" humalassa.
-Isompi jätkistä ilmoitti heti kuinka vitun typerä hattu hänen mielestään yhdestä kavereistani oli. Hän läpsäisi tämän häneltä päästä.
-Tässä vaiheessa minulla kilahti päässä.
-En välittänyt enää ollenkaan tilanteesta, vaikka varmasti ymmärsin mitä tulee tapahtumaan.
-Minä potkaisin kaveriini koskenutta jätkää ensin munille, niin että hän kumartui alaspäin, ja sitten kasvoihin. Hänen pudotessaan ehdin lyödä häntä vielä kerran.
-Ikävä kyllä, 13-vuotiaana en ollut kovinkaan isokokoinen ja mitä luultavammin monet 16-vuotiaat tytötkin osaavat lyödä lujempaa.
-Toinen jätkista auttoi kaverinsa rauhallisesti ylös, jonka jälkeen he molemmat hakkasivat minut.
-Yöllä, mennessäni kotiin minä tapasin äitini eteisessä. Minulla oli musta silmä, nenäni valui verta, huuleni olivat rikki ja korvakoruni olivat hakattu syvälle korvalehtiini kiinni.
-Äitini kysyi minulta; "Mitä helvettiä sulle on tapahtunut?"
-Minä vastasin vain että kaaduin polkupyörällä ja menin nukkumaan. Muistan että minua itketti, harmitti ja vitutti aivan uskomattomasti etteivät kaverini olleet tehneet mitään.
-Minä puolustin yhtä heistä, ja he eivät silti uskaltaneet tulla väliin.
-Silloin tiesin sen.
-Minä olen yksin tässä maailmassa.
-Kukaan ei tule koskaan auttamaan minua.
-Enkä minä tarvitse heidän apuaan.
-Joten minä tein sen saman mitä kaikki nuoret pojat tekevät kun haluavat olla kovia jätkiä.
-Minä ostin nahkatakin ja maiharit, ja aloin käyttäytymään entistä sikamaisemmin. En enää nöyrtynyt kun minusta tuntui että minua oli kohdeltu väärin.
-Koulussakaan minua ei enää sen jälkeen tönitty, kun hakkasin tönijän päätä rappusiin.
-Minut erotettiin koulusta kahdeksi viikoksi.
-(Mikä jälkeenpäin ihmetyttää koska hän löi ensin)
-Minulle kehittyi uskomaton tarve olla oman itseni herra. En suostunut nöyrtymään kenellekkään. Tämä kärjistyi lopulta siihen, että minut siirrettiin tarkkailuluokalle.
-Tämä sopi minulle hyvin.
-Luokalla oli minun lisäkseni kolme tyttöä ja neljä poikaa, olin siis luokan kahdeksas oppilas.
-Opettajamme oli noin 190-senttinen kehonrakentaja, mutta mukava ja lempeä mies.
-Minulla ei ollut koskaan riitaa hänen kanssaan, toisin kuin normaaliopetuksessa kaikkien.
-Hän ei yllyttänyt minua.
-Hän käytti meitä poikia noin vuoden punttisalillaan reenaamassa. Kehityin valtavasti tänä aikana, söin hyvin, reenasin säännöllisesti ja pidin motiivini mielessä.
-Tämä kuitenkin kaikki loppui.
+== Miksi matematiikkaa kannattaa opiskella? ==
-Eräänä päivänä kun saavuin puupajalle, menin katsomaan varastossa olluta mopediani. Se oli siellä opettajan luvalla odottamassa että kun täytän viisitoista ja saan ajaa sitä. Hän auttoi minua fiksailemaan sitä usein.
+Monilla käpistelijöillä on tunnetusti kielteinen asenne matematiikkaa kohtaan. Matematiikan kurssit tuntuvat usein teoreettisilta ja olevan vailla kosketuspintaa tietojenkäsittelytieteeseen. Matematiikan laitoksen kurssitarjontaa pidetään pelkästään matemaatikoille suunnattuna. Kuitenkin opintojen loppuvaiheessa useimmat huomaavat, että matematiikan opiskeleminen oli todellakin tarpeellista opintojen kannalta.
-Huomasin että bensaletku oli revitty irti, nopeusmittarin linssi rikottu ja ties mitä muuta.
-Silmissäni näkyi punaista, mutta pidin järkeni.
-Pienen utelun jälkeen sain syyllisen nimen.
-Tarkkiksella ei päässyt syömään samaan aikaan kuin "normaalit" oppilaat. Ei ellei ollut jotain valinnaisia. Minulla oli perjantaisin kuvaamataitoa.
-Saapuessani kuvaamataidontunnin jälkeen ruokalaan, minä otin hyllystä tarjoittimen ja kävelin kohti minua selin olevaa Pekkaa.
-Pekka ei saanut mitään varoitusta.
-Minä hakkasin Pekkaa takaapäin tarjottimella muutaman kerran niin lujaa, että Pekka kaatui tuoliltaan maahan. Hänen päänsä vuosi verta, hän itki ja huusi.
-Mutta minä olin yhä vihainen.
-Minä potkin häntä kun hän oli maassa aina niin kauan kunnes oman luokkamme opettaja syöksyi hätiin ja otti minut käsilukkoon. Hän melkein väänsi käteni paikoiltaan kun en suostunut rauhoittumaan.
-Jouduin lapsikotiin.
-Kun lopulta pääsin pois, minä olin jo iso ja vihainen nuori mies. Minulla ei ollut muuta koulutusta kuin yläaste vaikka olin jo kahdeksantoistavuotias. Olisin halunnut raksalle töihin, mutta kun muutaman kuukauden yritin hakea niin luovutin.
-Yksityiskohtia säästellen, lopulta minusta tuli velanperijä. Väkivalta oli jotain mitä osasin hyvin ja minkä tekemisestä minä nautin suunnattomasti.
+On totta, ettei Matematiikan laitos tarjoa sellaista opetusta, mitä käpistelijät tarvitsevat. Kuitenkin niin kauan kuin laitoksellamme ei ole resursseja ja/tai halua järjestää omia matematiikan kursseja, tämän ongelman kanssa on yritettävä tulla toimeen. Parhaiten soveltuvien kurssien valitseminen heti alusta asti on olennaista, varsinkin jos aikomuksena ei ole opiskella matematiikkaa sen itsensä takia.
-Kukaan ei uskaltanut vittuilla miehelle, joka nyrkkiä heruttaessasi repii baarijakkarin irti lattiasta ja murtaa kätesi sillä.
-Vuodet kuluivat, minä kasvoin ja minulla oli nyt perhe. Vaimo sekä kaksi lasta.
-Nostin sotilaspenkistä 210kg, painoin 150 ja olin 185-senttiä pitkä.
-Ja minä hakkasin ihmisiä työkseni.
-Kunnes eräänä päivänä.
+Tietojenkäsittelytieteessä on kieltämättä monia osa-alueita, joilla perinteistä matematiikkaa tarvitaan vain vähän tai ei lainkaan. Käyttöliittymätutkimus ja ohjelmistotuotanto ovat eräitä esimerkkejä tällaisista aloista. Nekään eivät ole vapaita matematiikasta eivätkä etenkään matemaattisesta ajattelusta. Kaikilla tietojenkäsittelytieteen osa-alueilla on keskeistä samankaltainen abstraktioiden ja analogioiden etsiminen kuin matematiikassakin. Teknisemmillä osa-alueilla matemaattista täsmällisyyttä tarvitaan erityisen paljon, sillä tietokoneet eivät tunnetusti tee sitä mitä niiden halutaan tekevän, vaan mitä niiden käsketään tekevän. Toimiva tietokone tekee asiat täsmälleen niin kuin on käsketty, jolloin pienimmätkin virheet suunnittelussa tai toteutuksessa voivat olla kriittisiä.
-Make oli pyytänyt minua hoitelemaan erään välittäjän, joka ei ollut maksanut tarpeeksi takaisin. Turpakeikka ja pientä nöyryytystä siis. Vaikutti ihan normikeikalta.
-Ensimmäinen asia, joka keikalla pisti mieleen, oli että rappukäytävässä oli täysin hiljaista.
-Yleensä näissä vanhojen venkuloiden täyttämissä koppihelveteissä on aina vähintään yksi idiootti meuhkaamassa. Mutta ei nyt.
-Koputin uhrini oveen. En saanut vastausta.
-Koputin uudestaan ja kuulin äänen "PAINUKAA NYT VITTUUN SIELTÄ". Menetin hermoni ja otin sorkkaraudan vyöltäni.
-Riuhtaisin oven auki ensi yrityksellä, ja näin jotain mikä kouristaa yhä vieläkin mahanpohjaani.
-Asunnon omistaja oli ilmeisesti juuri hetki sitten ampunut muijansa ja kaverinsa sohvalle.
-Nyt tämä nussi kuollutta muijaansa keskellä lattiaa, sekaisin kuin seinäkello.
-Huomasin hänen vieressään olevan aseen, ja syöksyin pippurikaasu kädessäni kohti tätä.
-Yritin sokaista hänet kaasulla, mutta olin liian hidas. Hän ampui minua.
-Luoti osui selkärankaani.
-Kuristin hänet kostoksi hengiltä.
-Sain tuomion törkeästä hätävarjelun liioittelusta, vuoden parin päästä vaimoni ja lapseni jättivät minut ja muuttivat kauas pois.
+Matemaattisen ajattelun lisäksi tarvitaan myös matematiikan osaamista. Tietojenkäsittelytieteestä ei valmistuta pelkäksi ohjelmistotuotanto- tai tietokanta-asiantuntijaksi, vaan tuoreella maisterilla on oltava jokseenkin laajat perustiedot kaikilta tietojenkäsittelytieteen osa-alueilta. Tietojenkäsittelytiede syntyi loogikoiden ajatusleikkinä ja eriytyi matematiikasta omaksi tieteenalakseen vasta joitain vuosikymmeniä sitten. Sen monet osa-alueet ovat edelleen tiiviissä yhteydessä matematiikkaan, eikä niiden perusteidenkaan ymmärtäminen ole mahdollista ilman lukiomatematiikkaa syvempää matematiikan osaamista.
-Nyt olen vanha, katkera mies. Eikä minulla ole enää muuta kuin paskat housuissa ja internet.
-Edes nuo rumat lähihoitajat jotka tuovat minulle ruokaa ja auttavat minut suihkuun eivät viihdytä enää.
-Olen ajatellut tappaa itseni, mutta tahdon jakaa teidän kanssa ensin jotain.
-Älkää halutko olla cool.
+Matematiikan taitoja tarvitaan tietojenkäsittelytieteen opinnoissa jo varhaisessa vaiheessa. Malliopintosuunnitelmassa ensimmäisen vuoden keväälle sijoitetut Tietorakenteet ja Tietokantojen perusteet ovat esimerkkejä tällaisista kursseista. Toisena opiskeluvuonna matematiikkaa tarvitaan jo ainakin Laskennan malleissa ja Rinnakkaisohjelmoinnissa. Lisätietoja tietojenkäsittelytieteen kurssien matemaattisista esitietovaatimuksista ja -suosituksista löytyy [[Millaista matematiikkaa opinnoissa tarvitaan|omalta sivultaan]].
-Se on ehkä pilannut koko elämäni.
+Antti Valmarin artikkeli [http://www.cs.tut.fi/~ava/kirjoitelmia/Arkhimedes01.html Matematiikan tarve ohjelmistotyössä] tarjoaa erään näkemyksen siitä, millaista matematiikkaa tietojenkäsittelytieteessä tarvitaan ja miksi nykyinen tarjonta ei vastaa tarvetta. Artikkeli nostaa esiin monia hyviä pointteja, vaikka yksityiskohdista voikin olla eri mieltä.
+== Pari neuvoa ==
+Ensimmäinen neuvo on ilmeinen: Lue huolella sekä tietojenkäsittelytieteen että matematiikan opinto-oppaat. Niistä löytyy paljon hyödyllistä informaatiota, joka on ensimmäisellä lukukerralla jäänyt huomaamatta, koska asioita ei silloin ymmärtänyt. Myös Limeksen Älä Hätäile -opas sisältää hyödyllistä tietoa, vaikka matematiikan osuus onkin kirjoitettu matemaatikon näkökulmasta. Sivulla [[Matematiikan kurssit]] on analysoitu, mitkä matematiikan kurssit ovat kiinnostavia tietojenkäsittelytieteilijöiden kannalta.
+Jos jokin asia tuntuu vaikealta, syy saattaa hyvinkin olla siinä, että asia on vaikea. Ongelman kanssa ei kuitenkaan kannata tuskailla yksin, vaan siihen kannattaa etsiä apua. Muut samalla kurssilla olevat tai sen jo käyneet opiskelijat ovat yksi vaihtoehto. Matematiikan laitoksella heitä kannattanee etsiä opiskelijahuoneesta, joka löytyy Exactumin 3. kerroksesta huoneesta C338 (Komero). Matematiikan laitoksella pidetään myös laskupajaa, jonne voi mennä hakemaan apua käynnissäolevien kurssien tehtäviin. Tietojenkäsittelytieteen laitoksella voi suunnata Gurulaan, jonka vakioasukkaat päinvastaisista huhuista huolimatta myös opiskelevat.
+Vielä yksi neuvo: Nuku riittävästi. Vaikka 5-6 tunnin yöunilla pärjääkin pitkään, opiskeleminen on huomattavasti helpompaa ja motivoivampaa hyvin nukkuneena. Matematiikan opiskeleminen vaatii aivan toisella tavalla keskittymistä kuin monesta muusta aineesta tuttu tiiliskivien selailu ja esseiden kirjoittaminen. Kirjoissa ja monisteissa on vähän sivuja, mutta se vähä on (mahdollisimman) tiivistä asiaa ja tulee osaamisen lisäksi myös ymmärtää. Kymmenen sivua tunnissa on jo kova lukutahti ja kertoo siitä, ettei mitään ongelmakohtia ole tullut vastaan.
+== Kurssien suorittaminen ==
+Matematiikan kurssien suorittamiseen on kaksi vaihtoehtoista tapaa: 1) luentokurssi laskareineen ja kurssikokeineen tai 2) erilliskoe. Luentokurssilla luentoja on tyypillisesti neljä tai viisi tuntia viikossa koko lukukauden ajan, minkä lisäksi on laskuharjoituksia kahden viikkotunnin verran. Sekä luennot että laskuharjoitukset ovat vapaaehtoisia, mutta laskareissa käymisestä saa yleensä jonkin verran ylimääräisiä pisteitä kurssikoepisteiden päälle. Nämä pisteet voivat osoittautua juuri kriittiseksi kurssin läpäisyn kannalta.
+Kurssikokeiden etuna on, että tyypillinen kymmenen opintopisteen kurssi jaetaan kahteen tai kolmeen osaan, jolloin kokeeseen on vähemmän luettavaa. Toisaalta matematiikan koealueet eivät yleensä ole kovin laajoja; opintopistettä kohti luettavaa tulee vain 10-20 sivua. Vaikka suurin osa tästä täytyykin osata, useimmat kurssit pystyy suorittamaan erilliskokeella huomattavan vähällä vaivalla. On järkevää kokeilla kurssien suorittamista sekä kurssikokeilla että erilliskokeella, jotta löytäisi itselleen parhaiten sopivan opiskelutekniikan.
+Matematiikan yleistenttejä järjestetään helmi-, heinä- ja syyskuuta lukuunottamatta joka kuukausi. Syksyisin luennoitavat kurssit voi tenttiä loka-, tammi- tai huhtikuussa, kevään kurssit taas marras-, maalis- tai toukokuussa. Joulukuun tentti on varattu joillekin syventävien opintojen kursseille, kun taas kesän tenteissä voi suorittaa minkä kurssin tahansa. Yleistentteihin, kuten matematiikan kursseillekin, ilmoittaudutaan WebOodissa.
+== Matemaattinen kielenkäyttö ja ajattelu ==
+Opettele lukemaan ja kirjoittamaan matematiikkaa. Se mikä näyttää harjaantumattomalle silmälle vain läjältä käsittämättömiä koukeroita, on todellisuudessa tekstiä, jota luetaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. On totta, että matemaattinen kieli pyrkii tiiviyteen ja täsmällisyyteen selkeyden ja luettavuuden kustannuksella. Yksi ainoa symboli saattaa tarkoittaa sanaa, lausetta tai kokonaista kappaletta. Täsmällisyyttä korostetaan myös käyttämällä aina samoja fraaseja samassa tilanteessa.
+Kannattaa muistaa, että järkeviä symboleita on paljon vähemmän kuin matemaattisia käsitteitä, muuttujista puhumattakaan. Niinpä samoja symboleita käytetään, uudelleenkäytetään ja väärinkäytetään tarkoittamaan lukuisia eri asioita. Onkin aina hyvä selittää symboleiden merkitys sanallisesti, jos ei koe sen käyvän (tarkastajalle) selväksi kontekstin perusteella.
+Muista, ettet tee vaikutusta keneenkään käyttämällä matemaattista kieltä. Symboleiden ja lyhenteiden runsas käyttö synnyttää helposti vaikutelman, ettei kirjoittaja itsekään tunne asiaa kunnolla, vaan yrittää peittää sitä korostetun matemaattisella kielenkäytöllä. Kaikenlaiset pienet tyylirikot ja poikkeamat vakiintuneista käytännöistä paljastavat kuitenkin kokemattomuuden. Jos jonkin asian voi ilmaista lyhyesti ja täsmällisesti myös suomeksi, niin kannattaa tehdä. Assarisetä tai -täti arvostaa sitä ja saattaa jopa muistaa sinua pisteillä.
+Täsmällinen matemaattinen kieli antaa helposti kuvan siitä, että matemaattinen ajattelu olisi mekaanista ja tiukasti rajattua. Tämä mielikuva on kuitenkin selvästi väärä. Vaikka joidenkin väitetään pystyvän ajattelemaan formaalisti, useimmat tarvitsevat intuitiivisen idean matemaattisesta tuloksesta tai rakenteesta pystyäkseen hyödyntämään sitä. Voidaan siis hyvällä syyllä sanoa, että matemaattinen ajattelu tapahtuu pääosin intuitiivisella tasolla.
+Täsmällisyyttäkin tarvitaan. Intuitiivisesti hyvältä näyttävä idea ei välttämättä toimi, ellei tilannetta rajoita jollain tavalla. Osan rajoitteista pystyy löytämään intuitiivisesti, mutta rajoitteiden täydentämiseen ja niiden riittävyyden osoittamiseen tarvitaan yleensä täsmällisempää otetta. Matemaattisen ajattelun "mekaaninen" puoli astuu tässä kohdassa mukaan peliin.
+Matemaattiset ideat ovat usein monimutkaisia ja monivivahteisia. Niiden välittäminen ihmiseltä toiselle edellyttää, että vastaanottaja ymmärtää perusidean lisäksi myös yksityiskohdat ja vivahteet. Koska ihmisten välinen viestintä on luonnostaan epämääräistä ja häviöllistä, tarvitaan matemaattisten ideoiden välittämiseen jokin riittävän täsmällinen ja rajoitettu kieli. Vaikka matemaattinen kieli ei kuvastakaan kovin hyvin matemaattista ajattelua, ei hyviä vaihtoehtoja ole olemassa.
+Yliopistomatematiikka on hyvin poikkeavaa esimerkiksi Aalto-yliopiston teknillisen korkeakoulun "insinöörimatematiikasta". Lukion matematiikka on perusteellisesti juuri insinöörimatematiikkaa. Esimerkiksi matematiikan laitoksen kursseille tyypillinen joukko-opillinen lähestymistapa sivuutetaan pitkän matematiikan oppimäärässäkin kokonaan. Hyvät lukiotiedot eivät takaa menestymistä yliopistomatematiikassa; vastaavasti huonot lukiotiedot eivät takaa, että yliopistomatematiikka olisi erityisen mahdotonta. Menestymisessä (monelle tarkoittaa kurssin läpäisyä) lienee kuitenkin kyse enemmän ennakkoluuloista ja motivaatiosta. Motivaation olisi tietysti hyvä olla kunnossa.
+== Muita näkökulmia ==
+Matematiikan opiskelu kannattaa aloittaa hyvissä ajoin, koska se kehittää matemaattista ajattelukykyä, josta on hyötyä lähes kaikilla TKTL:n kurseilla varsinkin Algoritmit ja koneoppiminen -linjan syventävissä opinnoissa Lisäksi joidenkin kurssien (esim. [[Matematiikan kurssit#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]] ja [[Matematiikan kurssit#Logiikka I|Logiikka I]]) varsinaiset asiat ovat kävelleet vastaan myös tietojenkäsittelytieteen perus- ja aineopintojen kursseilla.
+Matematiikkaan orientoitunut käpistelijä pääsee kursseista läpi, jos jaksaa avata kirjan, mutta tyypillisen, matematiikkaa hieman vierastavan, tietojenkäsittelijän on syytä varata aikaa erityisesti laskareiden tekoon. Eikä ole ollenkaan tavatonta, että laskaritehtävät tulevat kokeessa vastaan sellaisenaan.
+Matematiikan laitoksen aineopintojen kurssit eivät välttämättä ole keskiverto matematiikan pääaineopiskelijallekaan helppoja. Mainittakoon myös, että Johdatus diskreettiin matematiikkaan -kurssin kohdalla läpipääsyprosentti on matematiikan laitoksella ollut jotakuinkin samaa luokkaa kuin meillä tietojenkäsittelytieteen laitoksellakin.