Ero sivun ”Matematiikan kurssit” versioiden välillä
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
| Rivi 39: | Rivi 39: | ||
== Algebra I == | == Algebra I == | ||
(10 op, kevät) | (10 op, kevät) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan | Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan | ||
abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran | abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran | ||
| Rivi 49: | Rivi 47: | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet | Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet | ||
joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin | joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin | ||
| Rivi 59: | Rivi 56: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason | Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason | ||
matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten | matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten | ||
| Rivi 72: | Rivi 68: | ||
== Analyysin peruskurssi == | == Analyysin peruskurssi == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii | Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii | ||
hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi. | hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin | Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin | ||
teoreettisemmat [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]]. Keskeistä sisältöä ovat | teoreettisemmat [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]]. Keskeistä sisältöä ovat | ||
| Rivi 90: | Rivi 83: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen | Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen | ||
yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi | yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi | ||
| Rivi 105: | Rivi 97: | ||
== Analyysi I ja II == | == Analyysi I ja II == | ||
(10+10+2 op, syksy+kevät) | (10+10+2 op, syksy+kevät) | ||
| Rivi 111: | Rivi 102: | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle | Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle | ||
aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin | aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin | ||
| Rivi 117: | Rivi 107: | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, | Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, | ||
derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena | derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena | ||
| Rivi 148: | Rivi 137: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi | Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi | ||
vaihtoehto. | vaihtoehto. | ||
== Vektorianalyysi == | == Vektorianalyysi == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
| Rivi 159: | Rivi 146: | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä | [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä | ||
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n | [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n | ||
| Rivi 165: | Rivi 151: | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta. | Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta. | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi. | Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi. | ||
== Diskreetti matematiikka I == | == Diskreetti matematiikka I == | ||
(10 op, kevät) | (10 op, kevät) | ||
| Rivi 179: | Rivi 162: | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin. | Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä | Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä | ||
matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, | matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, | ||
| Rivi 192: | Rivi 173: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan | Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan | ||
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä. | opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä. | ||
== Diskreetti matematiikka II == | == Diskreetti matematiikka II == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
| Rivi 203: | Rivi 182: | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin | Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin | ||
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi | teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi | ||
| Rivi 210: | Rivi 188: | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa- | Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa- | ||
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja | alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja | ||
| Rivi 218: | Rivi 195: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan | Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan | ||
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä | tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä | ||
| Rivi 228: | Rivi 204: | ||
== Johdatus diskreettiin matematiikkaan == | == Johdatus diskreettiin matematiikkaan == | ||
(5 op, syksy, periodi II) | (5 op, syksy, periodi II) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille. | Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta. | Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta. | ||
| Rivi 242: | Rivi 215: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa | Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa | ||
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä | tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä | ||
| Rivi 251: | Rivi 223: | ||
== Laskettavuuden teoria == | == Laskettavuuden teoria == | ||
(10 op, satunnaisesti) | (10 op, satunnaisesti) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen | Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen | ||
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti | ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti | ||
| Rivi 263: | Rivi 233: | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon | Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon | ||
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat | näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat | ||
| Rivi 272: | Rivi 241: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia. | Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia. | ||
== Lineaarialgebra I == | == Lineaarialgebra I == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
| Rivi 282: | Rivi 249: | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes | Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes | ||
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle. | suoralta jatkolta lukiomatematiikalle. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän | Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän | ||
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi | jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi | ||
| Rivi 296: | Rivi 261: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, | Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, | ||
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on | vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on | ||
| Rivi 302: | Rivi 266: | ||
== Lineaarialgebra II == | == Lineaarialgebra II == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. | [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. | ||
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava. | Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis | Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis | ||
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu | I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu | ||
| Rivi 327: | Rivi 288: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle | Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle | ||
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan | on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan | ||
| Rivi 334: | Rivi 294: | ||
== Logiikka I == | == Logiikka I == | ||
(10 op, kevät) | (10 op, kevät) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi. | Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.) | Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.) | ||
| Rivi 348: | Rivi 305: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle | Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle | ||
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy | loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy | ||
| Rivi 357: | Rivi 313: | ||
== Matemaattinen logiikka == | == Matemaattinen logiikka == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen. | Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty. | Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty. | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat. | Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat. | ||
== Mitta ja integraali == | == Mitta ja integraali == | ||
(6 op, kevät) | (6 op, kevät) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä. | [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja | Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja | ||
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan | kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan | ||
| Rivi 391: | Rivi 340: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa | Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa | ||
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista | matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista | ||
| Rivi 398: | Rivi 346: | ||
== Optimointi I == | == Optimointi I == | ||
(10 op, syksy) | (10 op, syksy) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä | Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä | ||
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää. | [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi | Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi | ||
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä | käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä | ||
| Rivi 415: | Rivi 360: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät | Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät | ||
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, | runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, | ||
| Rivi 423: | Rivi 367: | ||
== Reaalianalyysi I == | == Reaalianalyysi I == | ||
(6 op, kevät) | (6 op, kevät) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]]. | [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]]. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta | Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta | ||
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, | näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, | ||
| Rivi 447: | Rivi 388: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat | Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat | ||
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin | perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin | ||
| Rivi 454: | Rivi 394: | ||
== Todennäköisyyslaskenta I == | == Todennäköisyyslaskenta I == | ||
(10 op, kevät) | (10 op, kevät) | ||
| Rivi 460: | Rivi 399: | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa. | Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria | Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria | ||
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi | jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi | ||
| Rivi 470: | Rivi 407: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi | Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi | ||
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä | rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä | ||
| Rivi 477: | Rivi 413: | ||
== Todennäköisyysteoria == | == Todennäköisyysteoria == | ||
(10 op, kevät) | (10 op, kevät) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]. | [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään | Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään | ||
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi | todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi | ||
| Rivi 494: | Rivi 427: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien | Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien | ||
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja | linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja | ||
| Rivi 502: | Rivi 434: | ||
== Topologia I == | == Topologia I == | ||
(10 op, kevät) | (10 op, kevät) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. | [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. | ||
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien | Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien | ||
| Rivi 512: | Rivi 442: | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja | Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja | ||
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia | normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia | ||
| Rivi 521: | Rivi 450: | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin | Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin | ||
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei | opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei | ||
| Rivi 529: | Rivi 457: | ||
== Verkkoteoria == | == Verkkoteoria == | ||
(10 op, suoritetaan loppukokeella) | (10 op, suoritetaan loppukokeella) | ||
=== Esitietovaatimukset === | === Esitietovaatimukset === | ||
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi. | Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi. | ||
=== Sisältö === | === Sisältö === | ||
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan | Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan | ||
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä. | ''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä. | ||
=== Soveltuvuus === | === Soveltuvuus === | ||
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä | Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä | ||
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien | on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien | ||
| Rivi 548: | Rivi 472: | ||
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa | kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa | ||
opiskella kun siihen on mahdollisuus. | opiskella kun siihen on mahdollisuus. | ||
Versio 15. kesäkuuta 2009 kello 22.07
Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan erään matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleen tietojenkäsittelytieteen opiskelijan mielipiteinä.
Kurssit
- Algebra I
- Analyysin peruskurssi
- Analyysi I ja II
- Diskreetti matematiikka I
- Diskreetti matematiikka II
- Johdatus diskreettiin matematiikkaan
- Laskettavuuden teoria
- Lineaarialgebra I
- Lineaarialgebra II
- Logiikka I
- Matemaattinen logiikka
- Mitta ja integraali
- Optimointi I
- Reaalianalyysi I
- Todennäköisyyslaskenta I
- Todennäköisyysteoria
- Topologia I
- Vektorianalyysi
- Verkkoteoria
Algebra I
(10 op, kevät)
Esitietovaatimukset
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.
Sisältö
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.
Soveltuvuus
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.
Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.
Analyysin peruskurssi
(10 op, syksy)
Esitietovaatimukset
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.
Sisältö
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisemmat Analyysi I ja II. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat. Kurssi korvaa aikaisemmin luennoitujen Approbatur-kurssien differentiaali- ja integraalilaskennan osuuden, ja sitä on joissain yhteyksissä kutsuttu myös nimellä Tietokoneavusteinen matematiikka.
Soveltuvuus
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.
Analyysin peruskurssi on saanut nykymuodossaan osakseen kovasti kritiikkiä. Kurssin verkkomateriaali on jossain hämmentävässä poropietariformaatissa, eikä muuta luentomonistetta ole, mikä tekee itseopiskelusta tavallista hankalampaa. Toisaalta monet ovat nähneet kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.
Analyysi I ja II
(10+10+2 op, syksy+kevät)
(vastaa aiempaa kurssia Differentiaali- ja integraalilaskenta I)
Esitietovaatimukset
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.
Sisältö
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää — kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta — valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.
Analyysi II:n keskeiset aiheet ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.
Lauri Myrbergin kirjat Differentiaali- ja integraalilaskenta, osat I ja II eivät ole oppimateriaalina kovin optimaalisia. Ne sopivat kyllä hakuteoksiksi, mutta kuvien puute ja muutenkin epähavainnollinen lähestymistapa tekevät niiden lukemisen turhan raskaaksi. Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.
Soveltuvuus
Analyysi I ja II sekä Analyysin peruskurssi käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.
Vektorianalyysi
(10 op, syksy)
(vastaa aiempaa kurssia Differentiaali- ja integraalilaskenta II)
Esitietovaatimukset
Analyysi I ja II sekä Lineaarialgebra I. Myös Topologia I:n tiedoista on hyötyä.
Sisältö
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.
Soveltuvuus
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.
Diskreetti matematiikka I
(10 op, kevät)
Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen Johdatus diskreettiin matematiikkaan
Esitietovaatimukset
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.
Sisältö
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.
Soveltuvuus
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.
Diskreetti matematiikka II
(10 op, syksy)
Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.
Esitietovaatimukset
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. Diskreetti matematiikka I lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.
Sisältö
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa- alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja Todennäköisyyslaskenta I), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.
Soveltuvuus
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.
Johdatus diskreettiin matematiikkaan
(5 op, syksy, periodi II)
Esitietovaatimukset
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Sisältö
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.
Paremmin tietävät voivat tarkentaa.
Soveltuvuus
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai vaihtoehtoisesti esitietokoe).
Laskettavuuden teoria
(10 op, satunnaisesti)
Esitietovaatimukset
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti Matemaattisesta logiikasta ja TKTL:n kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden teoria on hyötyä.
Sisältö
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin.
Soveltuvuus
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.
Lineaarialgebra I
(10 op, syksy)
Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.
Esitietovaatimukset
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.
Sisältö
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.
Soveltuvuus
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.
Lineaarialgebra II
(10 op, syksy)
Esitietovaatimukset
Lineaarialgebra I. Lisäksi Algebra I on vahvasti suositeltava.
Sisältö
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.
Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.
Soveltuvuus
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.
Logiikka I
(10 op, kevät)
Esitietovaatimukset
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.
Sisältö
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)
Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja Johdatus logiikkaan on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.
Soveltuvuus
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.
Matemaattinen logiikka
(10 op, syksy)
Esitietovaatimukset
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta Logiikka I on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.
Sisältö
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa Matemaattinen logiikka, mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.
Soveltuvuus
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.
Mitta ja integraali
(6 op, kevät)
Esitietovaatimukset
Vektorianalyysi. Topologia I:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.
Sisältö
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.
Soveltuvuus
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.
Optimointi I
(10 op, syksy)
Esitietovaatimukset
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta Analyysin peruskurssi tai Analyysi I ja II, sekä Lineaarialgebra I. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta Vektorianalyysi on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.
Sisältö
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.
Soveltuvuus
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.
Reaalianalyysi I
(6 op, kevät)
Esitietovaatimukset
Sisältö
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.
Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään Lp-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.
Soveltuvuus
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen sisällöstä tai soveltuvuudesta.
Todennäköisyyslaskenta I
(10 op, kevät)
Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.
Esitietovaatimukset
Joko Analyysi I ja II tai Analyysin peruskurssi. Kurssista Vektorianalyysi on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.
Sisältö
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin Mitta ja integraali laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja Todennäköisyyslaskenta on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.
Soveltuvuus
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.
Todennäköisyysteoria
(10 op, kevät)
Esitietovaatimukset
Mitta ja integraali ja Todennäköisyyslaskenta I.
Sisältö
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.
Soveltuvuus
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.
Topologia I
(10 op, kevät)
Esitietovaatimukset
Analyysi I. Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.
Sisältö
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin Algebra I. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja Topologia I sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.
Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin Diskreetti I diskreettiin matematiikkaan.
Soveltuvuus
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.
Verkkoteoria
(10 op, suoritetaan loppukokeella)
Esitietovaatimukset
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta Diskreetti matematiikka II on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.
Sisältö
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan Graph Theory pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.
Soveltuvuus
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.