Ero sivun ”Satunnainen esimerkki induktiotodistuksesta” versioiden välillä
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 18: | Rivi 18: | ||
sigma ( k = 0, x+1 ) { k(k+1) } = (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3 | sigma ( k = 0, x+1 ) { k(k+1) } = (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3 | ||
Tavoite: jaetaan sigma kahteen palaan (sen saa aina jakaa kahtia niin, että ensin | |||
juoksutetaan juoksutusnumeroa johonkin välietappiin, ja sitten etappi+1:stä loppuun asti), | |||
esmers | |||
sigma ( k = 0, y ) { k(k+1) } on sama kuin (oletetaan että z < y on hyvä välietappi) | |||
sigma ( k = 0, z ) { k(k+1) } + sigma ( k = z+1, y ) { k(k+1) } | |||
</pre> | </pre> |
Versio 5. syyskuuta 2007 kello 21.30
Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei saa mitään irti): sigma ( k = 0, 0 ) { k(k+1) } = 0(0+1)(0+2) / 3 0(0+1) = 3/3 1 = 1 Kakkosvaihe: oletetaan että toimii kun n = x jollekin x (ja me tiedetään että jollakin x se toimii koska just todistettiin että vaikkapa x = 0 toimii). Todistetaan tän pohjalta että toimii myös kun n = x + 1 eli yhtä isompi. Oletuksen perusteella me tiedetään että (korvataan n = x) sigma ( k = 0, x ) { k(k+1) } = x(x+1)(x+2) / 3 ilman mitään ongelmia, ei tarvi ees siivota. Nyt me halutaan todistaa että (korvataan n = x+1) sigma ( k = 0, x+1 ) { k(k+1) } = (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3 Tavoite: jaetaan sigma kahteen palaan (sen saa aina jakaa kahtia niin, että ensin juoksutetaan juoksutusnumeroa johonkin välietappiin, ja sitten etappi+1:stä loppuun asti), esmers sigma ( k = 0, y ) { k(k+1) } on sama kuin (oletetaan että z < y on hyvä välietappi) sigma ( k = 0, z ) { k(k+1) } + sigma ( k = z+1, y ) { k(k+1) }