Satunnainen esimerkki induktiotodistuksesta - Muutoshistoria

Marikarl: Lisätty luokkaan Matematiikka

2022-07-18T08:33:26Z

Lisätty luokkaan Matematiikka

← Vanhempi versio		Versio 18. heinäkuuta 2022 kello 11.33
Rivi 1:		Rivi 1:
			[[Category:Matematiikka]]
	Jos ihan periaate on hukassa, katso ensin [http://fi.wikipedia.org/wiki/P%C3%A4%C3%A4ttely#Induktiivinen_p.C3.A4.C3.A4ttely Induktiivisen päättelyn periaate filosofiassa], ja [http://fi.wikipedia.org/wiki/Matemaattinen_induktio matemaattisen induktion määritelmä].		Jos ihan periaate on hukassa, katso ensin [http://fi.wikipedia.org/wiki/P%C3%A4%C3%A4ttely#Induktiivinen_p.C3.A4.C3.A4ttely Induktiivisen päättelyn periaate filosofiassa], ja [http://fi.wikipedia.org/wiki/Matemaattinen_induktio matemaattisen induktion määritelmä].

2018-07-02T15:43:19Z

← Vanhempi versio	Versio 2. heinäkuuta 2018 kello 18.43
(ei mitään eroa)

2007-09-06T19:43:52Z

← Vanhempi versio		Versio 6. syyskuuta 2007 kello 22.43
Rivi 1:		Rivi 1:
			Jos ihan periaate on hukassa, katso ensin [http://fi.wikipedia.org/wiki/P%C3%A4%C3%A4ttely#Induktiivinen_p.C3.A4.C3.A4ttely Induktiivisen päättelyn periaate filosofiassa], ja [http://fi.wikipedia.org/wiki/Matemaattinen_induktio matemaattisen induktion määritelmä].

	<pre>		<pre>
	Pohditaan, miten todistetaan induktiolla että sigma ( k = 0, n ) = n(n+1)(n+2) / 3,		Pohditaan, miten todistetaan induktiolla että sigma ( k = 0, n ) = n(n+1)(n+2) / 3,

2007-09-05T20:26:06Z

← Vanhempi versio		Versio 5. syyskuuta 2007 kello 23.26
Rivi 16:		Rivi 16:
	"aina yhtä isompi" on jonkinlainen, sovittiin matematiikassa että tästä seuraa että kaikista		"aina yhtä isompi" on jonkinlainen, sovittiin matematiikassa että tästä seuraa että kaikista
	voidaan sanoa jotain, koska se kuulostaakin jokseenkin järkevältä valtaosalle väestöstä. :)		voidaan sanoa jotain, koska se kuulostaakin jokseenkin järkevältä valtaosalle väestöstä. :)
	Induktiota on selitetty mukavasti [http://solmu.math.helsinki.fi/1997/1/retki.html Turistina matematiikassa] -kiertueella.		Induktiota on selitetty mukavasti [http://solmu.math.helsinki.fi/1997/1/retki.html Turistina matematiikassa] -kiertueella, kunhan formaaliin ilmaisuun tottuu.

	<pre>		<pre>

2007-09-05T20:07:15Z

← Vanhempi versio		Versio 5. syyskuuta 2007 kello 23.07
Rivi 18:		Rivi 18:
	Induktiota on selitetty mukavasti [http://solmu.math.helsinki.fi/1997/1/retki.html Turistina matematiikassa] -kiertueella.		Induktiota on selitetty mukavasti [http://solmu.math.helsinki.fi/1997/1/retki.html Turistina matematiikassa] -kiertueella.

	</pre>		<pre>
	Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n		Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n
	lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei		lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei

2007-09-05T20:07:08Z

← Vanhempi versio		Versio 5. syyskuuta 2007 kello 23.07
Rivi 2:		Rivi 2:
	Pohditaan, miten todistetaan induktiolla että sigma ( k = 0, n ) = n(n+1)(n+2) / 3,		Pohditaan, miten todistetaan induktiolla että sigma ( k = 0, n ) = n(n+1)(n+2) / 3,
	oli n mitä tahansa.		oli n mitä tahansa.
			</pre>

	Induktiossa on aina kaksi vaihetta: ykkösvaiheessa todistetaan että väite pätee jollain		Induktiossa on aina kaksi vaihetta: ykkösvaiheessa todistetaan että väite pätee jollain
Rivi 17:		Rivi 18:
	Induktiota on selitetty mukavasti [http://solmu.math.helsinki.fi/1997/1/retki.html Turistina matematiikassa] -kiertueella.		Induktiota on selitetty mukavasti [http://solmu.math.helsinki.fi/1997/1/retki.html Turistina matematiikassa] -kiertueella.

			</pre>
	Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n		Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n
	lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei		lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei

2007-09-05T20:06:47Z

@@ Rivi 1: / Rivi 1: @@
 <pre>
 Ykkösvaihe: todistetaan että toimii kun n=0 (0 valittiin siksi että se oli tossa summassa k:n
 lähtöarvo, "k=0", eli pienin millä tän on pakko päteä - sitä pienemmillä tosta summasta ei
@@ Rivi 52: / Rivi 69: @@
 Tässä vaiheessa ollaan käytetty induktiotodistuksen peukalosäännöt loppuun ja siirrytään ihan perusveivaukseen, miten yhdestä saadaan toisen näköinen.
-Helpointa on siivota molemmat puolet ihan perusmuotoonsa, jolloin niitä yleensä voi vaan verrata ja todeta että ne on samat. Matemaatikot tosin arvostaa enemmän, jos veivaa koko ajan
+Helpointa on siivota molemmat puolet ihan perusmuotoonsa, jolloin niitä yleensä voi
-konsistentisti vain yhtä puolta, ja lopulta näyttää ta-daa että se on sama kuin se toinen
+vaan verrata ja todeta että ne on samat. Matemaatikot tosin arvostaa enemmän, jos
-puoli. Nekin tosin salaa voi tehdä sen niin että siivoaa molemmat ensin perusmuotoonsa
+veivaa koko ajan konsistentisti vain yhtä puolta, ja lopulta näyttää ta-daa että se on
 ja sitten vertaa että ne on samat, ja tekee sen "oikean puolen" siivoamisen takaperin parissa
 nopeutetussa askeleessa vasemmalle puolelle jotta se näyttää suoraan siltä oikealta puolelta.

2007-09-05T20:01:08Z

← Vanhempi versio		Versio 5. syyskuuta 2007 kello 23.01
Rivi 46:		Rivi 46:
	x(x+1)(x+2)/3 + (x+1)((x+1) + 1)		x(x+1)(x+2)/3 + (x+1)((x+1) + 1)

			ja meidän pitäis todistaa että se on sama kuin

			(x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3, joka on kakkosvaiheen väitteen oikea puoli.

			Tässä vaiheessa ollaan käytetty induktiotodistuksen peukalosäännöt loppuun ja siirrytään ihan perusveivaukseen, miten yhdestä saadaan toisen näköinen.

			Helpointa on siivota molemmat puolet ihan perusmuotoonsa, jolloin niitä yleensä voi vaan verrata ja todeta että ne on samat. Matemaatikot tosin arvostaa enemmän, jos veivaa koko ajan
			konsistentisti vain yhtä puolta, ja lopulta näyttää ta-daa että se on sama kuin se toinen
			puoli. Nekin tosin salaa voi tehdä sen niin että siivoaa molemmat ensin perusmuotoonsa
			ja sitten vertaa että ne on samat, ja tekee sen "oikean puolen" siivoamisen takaperin parissa
			nopeutetussa askeleessa vasemmalle puolelle jotta se näyttää suoraan siltä oikealta puolelta.

			Loppuun on tyylikästä sanoa että ykkös- ja kakkosvaiheen sekä induktioperiaatteen nojalla
			alkuperäinen väite on todistettu, jotta kaikki tietävät mihin asti päästiin.

	</pre>		</pre>

2007-09-05T19:54:27Z

← Vanhempi versio		Versio 5. syyskuuta 2007 kello 22.54
Rivi 39:		Rivi 39:

	Kakkosvaiheen väite oli siis että tämä hirviö olisi sama kuin (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3.		Kakkosvaiheen väite oli siis että tämä hirviö olisi sama kuin (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3.

			Meillä on vielä riesanamme yksi sigma, mutta onneksi se on helppo - k menee x+1:stä x+1:een
			itseensä, mikä tarkoittaa sitä ettei sigmaa tarvita - sijoitetaan vain k = x+1. Saadaan
			toissarivistä:

			x(x+1)(x+2)/3 + (x+1)((x+1) + 1)



	</pre>		</pre>

2007-09-05T19:50:49Z

← Vanhempi versio		Versio 5. syyskuuta 2007 kello 22.50
Rivi 37:		Rivi 37:

	x(x+1)(x+2)/3 + sigma ( k = x+1, x+1 ) { k(k+1) }.		x(x+1)(x+2)/3 + sigma ( k = x+1, x+1 ) { k(k+1) }.

			Kakkosvaiheen väite oli siis että tämä hirviö olisi sama kuin (x+1)((x+1) + 1)((x+1) + 2) / 3.



	</pre>		</pre>