Muistisääntöjä matematiikan oudoille merkinnöille ja termeille - Muutoshistoria

Marikarl: Lisätty luokkaan Matematiikka

2022-07-18T08:32:44Z

Lisätty luokkaan Matematiikka

← Vanhempi versio		Versio 18. heinäkuuta 2022 kello 11.32
Rivi 1:		Rivi 1:
			[[Category:Matematiikka]]
	Kerro tällä sivulla kummallisimmat, erikoisimmat mutta erityisesti mieleenjäävimmät muistisääntösi erinäisille abstrakteille asioille joita diskreetissä viljellään.		Kerro tällä sivulla kummallisimmat, erikoisimmat mutta erityisesti mieleenjäävimmät muistisääntösi erinäisille abstrakteille asioille joita diskreetissä viljellään.

Nursami: Nursami siirsi sivun Muistisääntöjä oudoille merkinnöille ja termeille uudelle nimelle Muistisääntöjä matematiikan oudoille merkinnöille ja termeille: harhaanjohtava nimi

2018-07-02T16:21:03Z

Nursami siirsi sivun Muistisääntöjä oudoille merkinnöille ja termeille uudelle nimelle Muistisääntöjä matematiikan oudoille merkinnöille ja termeille: harhaanjohtava nimi

← Vanhempi versio	Versio 2. heinäkuuta 2018 kello 19.21
(ei mitään eroa)

128.214.48.61: /* Kuvaukset */

2006-11-17T12:18:12Z

Kuvaukset

← Vanhempi versio		Versio 17. marraskuuta 2006 kello 15.18
Rivi 59:		Rivi 59:
	* Esimerkki: '''F: R -> R''', missä määritellään '''F(x) = 2x'''. Näin määritelty kuvaus on siis reaalilukujoukossa määritelty kuvaus joka kuvaa reaaliluvun reaaliluvulle. Kuvauksessa alkion '''x''' kuva on alkio '''2x'''. Siis esimerkiksi F(4) = 2 4 = 8.		* Esimerkki: '''F: R -> R''', missä määritellään '''F(x) = 2x'''. Näin määritelty kuvaus on siis reaalilukujoukossa määritelty kuvaus joka kuvaa reaaliluvun reaaliluvulle. Kuvauksessa alkion '''x''' kuva on alkio '''2x'''. Siis esimerkiksi F(4) = 2 4 = 8.

	* Esimerkki: Olkoon '''A = { x : x on ihminen }''' ja ''' B = {'joo', 'ei'} ''' ja kuvaus '''F: A -> B''' missä F(x) = 'joo' jos '''x''' on nainen ja 'ei' jos '''x''' on mies. Näin määritelty kuvaus on edellä olevassa mielessä hyvin määritelty, ja kertoo siis ihmiestä onko hän nainen vai mies. Kuvauksen "säännön" ei siis tarvitse olla mikään ~~matemaattisesti~~ ilmaistava ehto.		* Esimerkki: Olkoon '''A = { x : x on ihminen }''' ja ''' B = {'joo', 'ei'} ''' ja kuvaus '''F: A -> B''' missä F(x) = 'joo' jos '''x''' on nainen ja 'ei' jos '''x''' on mies. Näin määritelty kuvaus on edellä olevassa mielessä hyvin määritelty, ja kertoo siis ihmiestä onko hän nainen vai mies. Kuvauksen "säännön" ei siis tarvitse olla mikään matemaattisella lausekkeella ilmaistava ehto.

	== Kuvausten ominaisuuksia ==		== Kuvausten ominaisuuksia ==

	Kirjottakaa tähän, injektio, surjektio, bijektio...		Kirjottakaa tähän, injektio, surjektio, bijektio...

128.214.48.61: /* Kuvaukset */

2006-11-17T11:38:52Z

Kuvaukset

← Vanhempi versio		Versio 17. marraskuuta 2006 kello 14.38
Rivi 60:		Rivi 60:

	* Esimerkki: Olkoon '''A = { x : x on ihminen }''' ja ''' B = {'joo', 'ei'} ''' ja kuvaus '''F: A -> B''' missä F(x) = 'joo' jos '''x''' on nainen ja 'ei' jos '''x''' on mies. Näin määritelty kuvaus on edellä olevassa mielessä hyvin määritelty, ja kertoo siis ihmiestä onko hän nainen vai mies. Kuvauksen "säännön" ei siis tarvitse olla mikään matemaattisesti ilmaistava ehto.		* Esimerkki: Olkoon '''A = { x : x on ihminen }''' ja ''' B = {'joo', 'ei'} ''' ja kuvaus '''F: A -> B''' missä F(x) = 'joo' jos '''x''' on nainen ja 'ei' jos '''x''' on mies. Näin määritelty kuvaus on edellä olevassa mielessä hyvin määritelty, ja kertoo siis ihmiestä onko hän nainen vai mies. Kuvauksen "säännön" ei siis tarvitse olla mikään matemaattisesti ilmaistava ehto.

			== Kuvausten ominaisuuksia ==

			Kirjottakaa tähän, injektio, surjektio, bijektio...

128.214.48.61: /* Kuvaukset */

2006-11-17T11:37:36Z

Kuvaukset

← Vanhempi versio		Versio 17. marraskuuta 2006 kello 14.37
Rivi 55:		Rivi 55:

	=Kuvaukset=		=Kuvaukset=
	Kuvaus on erikoistapaus relaatiosta. Kuvauksessa relaation toisessa päässä on aina yksikäsitteisesti määrättävissä oleva alkio. Siis jos F on kuvaus ja pätee '''F(x) = y''' ''ja'' '''F(x) = z''', niin '''y = z'''. Kuvauksia ei kuitenkaan kannata välttämättä ajatella relaatioina, vaan eräänlaisina ''koneina'' jotka liittävät kahden joukon alkiota toisiinsa tietyllä säännöllä. Jos meillä on kuvaus '''F''' joukolta '''X''' joukkoon '''Y''', merkitään '''F: X -> Y'''. Joukkoa '''X''' sanotaan ''lähtöjoukoksi'' ja joukoa '''Y''' ''maalijoukoksi''. ''Alkion'' '''x \kuuluu X''' ''kuva kuvauksessa'' '''F''' on alkio '''y \kuuluu Y''' ja sitä merkitään ' '''F(X) = y''' '.		Kuvaus on erikoistapaus relaatiosta. Kuvauksessa relaation toisessa päässä on aina yksikäsitteisesti määrättävissä oleva alkio. Siis jos F on kuvaus ja pätee '''F(x) = y''' ''ja'' '''F(x) = z''', niin '''y = z'''. Kuvauksia ei kuitenkaan kannata välttämättä ajatella relaatioina, vaan eräänlaisina ''koneina'' jotka liittävät kahden joukon alkiota toisiinsa tietyllä säännöllä. Jos meillä on kuvaus '''F''' joukolta '''X''' joukkoon '''Y''', merkitään '''F: X -> Y'''. Joukkoa '''X''' sanotaan ''lähtöjoukoksi'' ja joukoa '''Y''' ''maalijoukoksi''. Alkion '''x \kuuluu X''' ''kuva kuvauksessa'' '''F''' on alkio '''y \kuuluu Y''' ja sitä merkitään ' '''F(X) = y''' '.

			* Esimerkki: '''F: R -> R''', missä määritellään '''F(x) = 2x'''. Näin määritelty kuvaus on siis reaalilukujoukossa määritelty kuvaus joka kuvaa reaaliluvun reaaliluvulle. Kuvauksessa alkion '''x''' kuva on alkio '''2x'''. Siis esimerkiksi F(4) = 2 4 = 8.

			* Esimerkki: Olkoon '''A = { x : x on ihminen }''' ja ''' B = {'joo', 'ei'} ''' ja kuvaus '''F: A -> B''' missä F(x) = 'joo' jos '''x''' on nainen ja 'ei' jos '''x''' on mies. Näin määritelty kuvaus on edellä olevassa mielessä hyvin määritelty, ja kertoo siis ihmiestä onko hän nainen vai mies. Kuvauksen "säännön" ei siis tarvitse olla mikään matemaattisesti ilmaistava ehto.

128.214.48.61 (17. marraskuuta 2006 kello 11.28)

2006-11-17T11:28:33Z

← Vanhempi versio		Versio 17. marraskuuta 2006 kello 14.28
Rivi 52:		Rivi 52:
	** Refleksiivisessä rakkausrelaatiossa kaikki viettävät ainakin jonkin verran aikaa tuijotellen kuvajaistaan (reflection), eli ovat itseään rakastavia narsisteja. Saavat toki rakastaa vapaa-ajallaan myös muita kuin itseään. (Esimerkiksi täydellinen ja reflektiivinen rakkausrelaatio on ihmissuhdeverkkona kuvattuna ihme häkkyrä, jossa on joka suuntaan viivoja ja joka pisteessä vielä itseen osoittava pampula.)		** Refleksiivisessä rakkausrelaatiossa kaikki viettävät ainakin jonkin verran aikaa tuijotellen kuvajaistaan (reflection), eli ovat itseään rakastavia narsisteja. Saavat toki rakastaa vapaa-ajallaan myös muita kuin itseään. (Esimerkiksi täydellinen ja reflektiivinen rakkausrelaatio on ihmissuhdeverkkona kuvattuna ihme häkkyrä, jossa on joka suuntaan viivoja ja joka pisteessä vielä itseen osoittava pampula.)
	** Luentomateriaalissa määritelty '''Delta_X'''-relaatio on selvästi määritelmänsä mukaan refleksiivinen. Sehän määriteltiin joukkona '''Delta_X = {(x,x) : x kuuluu perusjoukkoon}'''.		** Luentomateriaalissa määritelty '''Delta_X'''-relaatio on selvästi määritelmänsä mukaan refleksiivinen. Sehän määriteltiin joukkona '''Delta_X = {(x,x) : x kuuluu perusjoukkoon}'''.


			=Kuvaukset=
			Kuvaus on erikoistapaus relaatiosta. Kuvauksessa relaation toisessa päässä on aina yksikäsitteisesti määrättävissä oleva alkio. Siis jos F on kuvaus ja pätee '''F(x) = y''' ''ja'' '''F(x) = z''', niin '''y = z'''. Kuvauksia ei kuitenkaan kannata välttämättä ajatella relaatioina, vaan eräänlaisina ''koneina'' jotka liittävät kahden joukon alkiota toisiinsa tietyllä säännöllä. Jos meillä on kuvaus '''F''' joukolta '''X''' joukkoon '''Y''', merkitään '''F: X -> Y'''. Joukkoa '''X''' sanotaan ''lähtöjoukoksi'' ja joukoa '''Y''' ''maalijoukoksi''. ''Alkion'' '''x \kuuluu X''' ''kuva kuvauksessa'' '''F''' on alkio '''y \kuuluu Y''' ja sitä merkitään ' '''F(X) = y''' '.

128.214.48.61: /* Relaatioiden eri esitystavat */

2006-11-17T11:06:01Z

Relaatioiden eri esitystavat

← Vanhempi versio		Versio 17. marraskuuta 2006 kello 14.06
Rivi 20:		Rivi 20:
	* Relaatiota voi merkitä joukkona järjestettyjä pareja, esim. '''{ (a,b), (c,d) } kuuluu R:ään'''.		* Relaatiota voi merkitä joukkona järjestettyjä pareja, esim. '''{ (a,b), (c,d) } kuuluu R:ään'''.
	* '''x R y''' viittaa esitystapaan, joka on tuttu esim. x = y, x < y ja x hates y -relaatioista.		* '''x R y''' viittaa esitystapaan, joka on tuttu esim. x = y, x < y ja x hates y -relaatioista.
	* Relaation voi piirtää myös graafina eli verkkona eli pampuloina ja nuolina. '''x nuoli y''' vastaa silloin yhtä (x,y) -paria relaation joukossa. ~~(Näiden päikkäisyyttä en nyt ehdi muistaa.)~~		* Relaation voi piirtää myös graafina eli verkkona eli pampuloina ja nuolina. '''x nuoli y''' vastaa silloin yhtä (x,y) -paria relaation joukossa.
	* Verkkoesitystavan lähisukulainen on taulukko, jossa parien osapuolet löytyvät riveiltä ja sarakkeilta, ja '''ruksi ruudussa''' tarkoittaa että kyseisen rivin ja sarakkeen pari kuuluu joukkoon. Rivien ja sarakkeiden merkityksen voi valita miten tykkää, kunhan sen selvittää itselleen ja niille keille sitä selittää. Eli esimerkki:		* Verkkoesitystavan lähisukulainen on taulukko, jossa parien osapuolet löytyvät riveiltä ja sarakkeilta, ja '''ruksi ruudussa''' tarkoittaa että kyseisen rivin ja sarakkeen pari kuuluu joukkoon. Rivien ja sarakkeiden merkityksen voi valita miten tykkää, kunhan sen selvittää itselleen ja niille keille sitä selittää. Eli esimerkki:

128.214.48.61: /* Relaatioiden ominaisuuksia */

2006-11-17T11:05:15Z

Relaatioiden ominaisuuksia

← Vanhempi versio		Versio 17. marraskuuta 2006 kello 14.05
Rivi 42:		Rivi 42:
	* '''Antisymmetrisyys''' tarkoittaa sitä, että jos a,b ja b,a, niin silloin väkisinkin a=b. Esimerkiksi pienempi-tai-yhtäsuuri-kuin on antisymmetrinen relaatio.		* '''Antisymmetrisyys''' tarkoittaa sitä, että jos a,b ja b,a, niin silloin väkisinkin a=b. Esimerkiksi pienempi-tai-yhtäsuuri-kuin on antisymmetrinen relaatio.
	** Antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa olevat alkiot jotka ovat erehtyneet rakastumaan johonkuhun muuhun ((a,b) ja a ei sama kuin b) eivät voi koskaan saada tältä vastarakkautta. Itseään rakastavat narsistit ja ei ketään rakastavat ovat myös ok antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa, samoin kolmiodraamat ((a,b), (b,c), (c,a)), kunhan kukaan ei saa suoraan vastarakkautta.		** Antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa olevat alkiot jotka ovat erehtyneet rakastumaan johonkuhun muuhun ((a,b) ja a ei sama kuin b) eivät voi koskaan saada tältä vastarakkautta. Itseään rakastavat narsistit ja ei ketään rakastavat ovat myös ok antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa, samoin kolmiodraamat ((a,b), (b,c), (c,a)), kunhan kukaan ei saa suoraan vastarakkautta.
	** Vielä esimerkki luvuilla pieni-tai-yhtäsuuri-kuin (<=)-relaation antisymmetrisyydestä. Jos on kaksi lukua '''A''' ja '''B''' ja pätee '''A <= B''' ''ja'' '''B <= A''', niin selvästi on pakko olla '''A = B'''. Lukuhan ei voi olla samaan aikaan jotain toista lukua aidosti pienempi JA suurempi.		** Vielä esimerkki luvuilla pieni-tai-yhtäsuuri-kuin (<=)-relaation antisymmetrisyydestä. Jos on kaksi lukua '''a''' ja '''b''' ja pätee '''a <= b''' ''ja'' '''b <= a''', niin selvästi on pakko olla '''a = b'''. Lukuhan ei voi olla samaan aikaan jotain toista lukua aidosti pienempi JA suurempi.

	Kuten tästä näemme, narsistit ja erakot sopivat aina joukkoon, oli meno symmetristä tai antisymmetristä, koska silloin meitä kiinnostaa lähinnä miten väki suhtautuu toisiinsa.		Kuten tästä näemme, narsistit ja erakot sopivat aina joukkoon, oli meno symmetristä tai antisymmetristä, koska silloin meitä kiinnostaa lähinnä miten väki suhtautuu toisiinsa.

128.214.10.19: /* Relaatioiden ominaisuuksia */

2006-11-17T09:54:26Z

Relaatioiden ominaisuuksia

← Vanhempi versio		Versio 17. marraskuuta 2006 kello 12.54
Rivi 51:		Rivi 51:
	* '''Refleksiivisyys''' tarkoittaa sitä, että kaikille a, a R a. Esimerkiksi = on tällainen relaatio erinäisille lukujärjestelmille.		* '''Refleksiivisyys''' tarkoittaa sitä, että kaikille a, a R a. Esimerkiksi = on tällainen relaatio erinäisille lukujärjestelmille.
	** Refleksiivisessä rakkausrelaatiossa kaikki viettävät ainakin jonkin verran aikaa tuijotellen kuvajaistaan (reflection), eli ovat itseään rakastavia narsisteja. Saavat toki rakastaa vapaa-ajallaan myös muita kuin itseään. (Esimerkiksi täydellinen ja reflektiivinen rakkausrelaatio on ihmissuhdeverkkona kuvattuna ihme häkkyrä, jossa on joka suuntaan viivoja ja joka pisteessä vielä itseen osoittava pampula.)		** Refleksiivisessä rakkausrelaatiossa kaikki viettävät ainakin jonkin verran aikaa tuijotellen kuvajaistaan (reflection), eli ovat itseään rakastavia narsisteja. Saavat toki rakastaa vapaa-ajallaan myös muita kuin itseään. (Esimerkiksi täydellinen ja reflektiivinen rakkausrelaatio on ihmissuhdeverkkona kuvattuna ihme häkkyrä, jossa on joka suuntaan viivoja ja joka pisteessä vielä itseen osoittava pampula.)
	** Luentomateriaalissa määritelty '''Delta_X'''-relaatio on selvästi määritelmänsä mukaan refleksiivinen. Sehän määriteltiin joukkona '''~~Delta_x~~ = {(x,x) : X kuuluu perusjoukkoon}'''.		** Luentomateriaalissa määritelty '''Delta_X'''-relaatio on selvästi määritelmänsä mukaan refleksiivinen. Sehän määriteltiin joukkona '''Delta_X = {(x,x) : x kuuluu perusjoukkoon}'''.

128.214.10.19: /* Relaatioiden ominaisuuksia */

2006-11-17T09:53:11Z

Relaatioiden ominaisuuksia

← Vanhempi versio		Versio 17. marraskuuta 2006 kello 12.53
Rivi 42:		Rivi 42:
	* '''Antisymmetrisyys''' tarkoittaa sitä, että jos a,b ja b,a, niin silloin väkisinkin a=b. Esimerkiksi pienempi-tai-yhtäsuuri-kuin on antisymmetrinen relaatio.		* '''Antisymmetrisyys''' tarkoittaa sitä, että jos a,b ja b,a, niin silloin väkisinkin a=b. Esimerkiksi pienempi-tai-yhtäsuuri-kuin on antisymmetrinen relaatio.
	** Antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa olevat alkiot jotka ovat erehtyneet rakastumaan johonkuhun muuhun ((a,b) ja a ei sama kuin b) eivät voi koskaan saada tältä vastarakkautta. Itseään rakastavat narsistit ja ei ketään rakastavat ovat myös ok antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa, samoin kolmiodraamat ((a,b), (b,c), (c,a)), kunhan kukaan ei saa suoraan vastarakkautta.		** Antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa olevat alkiot jotka ovat erehtyneet rakastumaan johonkuhun muuhun ((a,b) ja a ei sama kuin b) eivät voi koskaan saada tältä vastarakkautta. Itseään rakastavat narsistit ja ei ketään rakastavat ovat myös ok antisymmetrisessä rakkausrelaatiossa, samoin kolmiodraamat ((a,b), (b,c), (c,a)), kunhan kukaan ei saa suoraan vastarakkautta.
	** Vielä esimerkki luvuilla pieni-tai-yhtäsuuri-kuin (<=)-relaation antisymmetrisyydestä. Jos on kaksi lukua '''A''' ja '''B''' ja pätee '''A~~'''~~ <= ~~'''~~B''' ''ja'' '''B~~'''~~ <= ~~'''~~A''', niin selvästi on pakko olla A = B. Lukuhan ei voi olla samaan aikaan jotain toista lukua aidosti pienempi JA suurempi.		** Vielä esimerkki luvuilla pieni-tai-yhtäsuuri-kuin (<=)-relaation antisymmetrisyydestä. Jos on kaksi lukua '''A''' ja '''B''' ja pätee '''A <= B''' ''ja'' '''B <= A''', niin selvästi on pakko olla '''A = B'''. Lukuhan ei voi olla samaan aikaan jotain toista lukua aidosti pienempi JA suurempi.

	Kuten tästä näemme, narsistit ja erakot sopivat aina joukkoon, oli meno symmetristä tai antisymmetristä, koska silloin meitä kiinnostaa lähinnä miten väki suhtautuu toisiinsa.		Kuten tästä näemme, narsistit ja erakot sopivat aina joukkoon, oli meno symmetristä tai antisymmetristä, koska silloin meitä kiinnostaa lähinnä miten väki suhtautuu toisiinsa.