Fuksiwiki - Käyttäjän muokkaukset [fi]

Täydennyksiä opinto-oppaaseen

2010-09-01T21:35:47Z

Tentd: /* Tutkinnot ja erikoistumislinjat */

Opinto-oppaasta löytyy sivukaupalla hyödyllistä tietoa. Valitettavasti sen vain ovat kirjoittaneet ihmiset, jotka ovat joko a) itse opiskelleet 30-40 vuotta sitten tai b) tuntevat laitoksen tavat läpikotaisin. Niinpä kaikkien vastausten löytäminen saattaa olla etenkin ensi alkuun hankalaa, mihin tämä teksti yrittää auttaa. Samalla saattaa myös tulla hieman lisävaloa asioiden taustoihin. Teksti on tarkoitettu luettavaksi rinnakkain opinto-oppaan kanssa ja sen otsikot yrittävät olla samat kuin opinto-oppaassa.

== Tietojenkäsittelytiede ==

=== Tutkinnonuudistus, tutkintojärjestelmät ===

Laitoksen tutkintovaatimuksia joudutaan uudistamaan alan muuttuessa suhteellisen usein. Käytännössä jonkinasteinen tutkinnonuudistus on vastassa aina muutaman vuoden välein. Vanhenevien vaatimusten mukaan valmistumiseen annetaan siirtymäaikaa, kurssien väliset korvaavuudet dokumentoidaan, ja uudistusten alkuvaiheessa tarjolla on samanaikaisesti vanhan ja uuden järjestelmän mukaan pakollisia kursseja tai niitä vastaavia suoritusmahdollisuuksia.

Tuorein tutkinnonuudistus on astunut voimaan lukuvuoden 2010 alusta. Tutkinnonuudistus koskee lähinnä "Hajautetut järjestelmät ja tietoliikenne" -maisterilinjan kurssien luokittelua. Aloittavalle opiskelijalle tilanne on ongelmaton, koska hän menee aina uusien tutkintovaatimusten mukaisesti eikä vanhoista vaatimuksista tarvitse edes tietää.

Koko yliopistoa koskenut tutkintoremontti tehtiin 2005, kun maisterin ja kandidaatin tutkinnot erotettiin selkeästi kahdeksi eri tutkinnoksi, opintoviikot muuttuivat opintopisteiksi ja arvosana-asteikot yhtenäistettiin. Sivuainelaitoksilla tästä urakasta saatetaan yhä puhua kunnioittavaan sävyyn sinä ainoana oikeana tutkinnonuudistuksena; tällä välin TKTL:n väki ihmettelee jo seuraavaa uudistusta.

=== Tutkinnot ja erikoistumislinjat ===

Perus-, aine- ja syventävät opinnot ovat tässä tiedekunnassa suhteellisen uusia termejä. Niinpä vanhat saattavat vielä puhua approbaturista eli approsta, cum laude approbaturista eli cumusta ja laudaturista eli lavista, jotka ovat aikaisempia näistä kokonaisuuksista käytettyjä nimityksiä.

Luonnontieteiden kandidaatin tutkinnossa ei vielä kovin paljon pääse erikoistumaan, vaan kaikille yhteiset opinnot täyttävät valtaosan tutkinnosta. LuK-vaiheessa kaikki ovet eivät vielä ole opiskelijalle auki, koska syventävien opintojen kursseissa vaaditaan yleensä vankat perustiedot opetettavata aiheesta. Suositeltavaa tietysti olisi suorittaa LuK-tutkinto pois alta mahdollisimman nopeasti, jotta voisi sukeltaa niihin "itselle oikeasti mielenkiintoisiin asioihin".

Useimmiten motivaatio alkaa romahtaa kun LuK-tutkinnosta on suoritettu noin kaksi kolmasosaa. Näin sattuessa kannattaa ehdottomasti harkita syventävien opintojen suorittamista puuttuvien LuK-opintojen ohessa. Tällainen menettely on toiminut monelle hajonneelle sielulle uutena motivaation lähteenä. Lisäksi syventävien opintojen läpäiseminen innostanee myös tulevien FM-opintojen suorittamiseen. Laitoksella on ihan oikeakin haaste estää ihmisiä karkaamasta LuK-tutkinnon jälkeen työelämään. Ohimennen mainittakoon, että tutkintoon ei sisälly enää myöskään työharjoittelua. Sitäkin kokeiltiin joskus, mutta suurin osa opiskelijoista ei enää palannutkaan hyväpalkkaisesta työharjoittelusta opiskelemaan.

Omaa erikoistumislinjaa ei tarvitse heti päättää. Maisterivaiheessa voi tutkiskella erilaisia valmistumisprofiileja, ja kursseja voi ja kannattaakin lukea eri linjoilta ristiin. Valmistumisella ei rajauksista huolimatta ole niin tulipalokiire, ettäkö vain pakolliset pahat sisältävä putkitutkinto olisi paras vaihtoehto. Niin kauan kuin opiskelu maistuu, kannattaa käydä yleensä ottaen mielenkiintoisilta tuntuvilla kursseilla - kun sitten aikanaan valmistumisen myötä menettää opinto-oikeutensa, hankaloituu opiskelukin tuntuvasti. Maisteriopinnoissa käy helposti niin, että kun opintoja on aikansa suorittanut, huomaa tutkintovaatimusten täyttyvän yhdellä tai useammalla erikoistumislinjalla, ja mielessäkin pyörii gradun aihe, joka sopisi jollekin näistä linjoista.

Erikoistumislinjoja on kolme, mikä toisinaan vaikuttaa muualla opiskelleista hieman suppealta, mutta linjojen sisällä on useita osaamisprofiileita joihin opiskelija voi tähdätä. Linjat ovat Algoritmit ja koneoppiminen (tunnetaan myös nimellä "Alko"), Hajautetut järjestelmät ja tietoliikenne ("Hajatili") sekä Ohjelmistojärjestelmät. Linjojen sisällöt ovat suunnilleen seuraavat:

* Alko: Teoreettista tietojenkäsittelyä (joka on lähes matematiikkaa), algoritmiikkaa, koneoppimista sekä tiedonlouhintaa. Koneoppiminen ja tiedonlouhinnalla liittyvät läheisesti suurten datakasojen analysointiin tilastollisin menetelmin. Näitä datakasoja löytyy läjäpäin mm. Internetin uumenista, geenitutkimuksesta ja laumojen käyttäytymisestä. Linja vaatii hyvän matemaattisen pohjan, ja sen vaatimuksiin kuuluukin kuudenkymmennen opintopisteen laajuiset matematiikan tai menetelmätieteen opinnot. Moni linjalle pyrkivistä jättää kuitenkin tilastotieteen vähemmälle ja keskittyy matematiikkaan.

* Hajatili: Aihealueina laskennan hajauttaminen (hyödynnetään verkon yli monien koneiden kapasiteettia), vertaisverkot (kyllä, niitä joilla mm. ladataan musiikkia netistä), ihan tavalliset tietoverkot ja järjestelmien yhteentoimivuus (esimerkiksi kotimainen terveyskeskus ja sairaala teknisesti kykenisivät vaihtamaan tietoja potilaasta kulkematta paperikopion kautta).

* Ohjelmistojärjestelmät: Ohjelmistojen suunnittelemista, mallintamista, tuottamista sekä tietokantajärjestelmiä. Tämä linja lienee sovellusläheisin. Ohjelmistotekniikka ja tietokannat ovatkin perinteisesti vetäneet mukaansa huomattavan osan opiskelijoista.

=== Tutkijalinja ===

Tutkijalinja on löyhä ryhmä ihmisiä, joista ainakin opintojen alkuvaiheessa tutkijan ura on vaikuttanut hyvältä idealta. Tyypillisesti väki on painottunut algoritmien ja koneoppimisen suuntaan, muilla linjoilla tutkijaksi herätään yleensä myöhemmin.

Tutkijalinjalle pyritään ensimmäisen vuoden kevätlukukauden lopussa, mutta karsinta ei ole ainakaan yleensä ollut kovin tiukka. Aikaisemmin linjan toiminta keskittyi siihen, että tutkijalinjalaisilla oli 2. ja 3. vuonna kaikille pakollisena olevassa opettajatuutoroinnissa oma ryhmänsä, joka toimii hiukan omalaatuisemmin kuin keskimääräinen opettajatuutorointiryhmä. Jotain vastaavaa lienee luvassa tulevaisuudessakin.

Linjasta saatavat konkreettiset edut vaihtelevat vuodesta toiseen. Toisinaan on saattanut saada laitokselta kannettavan tietokoneen monivuotiseen lainaan, toisinaan taas mikroluokkia rauhallisemman työskentely-ympäristön. Kesäisin linjalaiset saattavat päästä käymään lähialueilla olevissa tieteellisissä konferensseissa, mikä mahdollisuus kannataa ehdottomasti hyödyntää. Matkailu avartaa ja konferenssimatkailu eritoten. Urhealla tutkijanalulla tosin voi alkaa kunto pettää viikon edetessä, kun jälkilöylybaarista ei tietenkään voi lähteä ennen puoltayötä, vaikka seuraavana päivänä olisi taas kahdeksan tuntia esitelmiä aamuyhdeksästä alkaen.

Tutkijalinja toimii myös tehokkaana rekrytoitumiskanavana laitokselle tutkimusapulaisen töihin; tutkijalinjalaiset ovat jo valmiiksi osoittaneet kiinnostusta tutkimukseen, joten he ovat haluttua tavaraa kun tutkimusryhmät kaipaavat lisävahvistusta.

=== Opintoneuvonta ===

Laitoksen verkkosivuilta löytyy paljon opinnoissa hyödyllistä tietoa. Oikean tiedon löytäminen voi olla vaikeaa, sillä sivuja on todella paljon. Paras lääke tähän lienee sivuston ahkera käyttö, kunnes oppii tuntemaan sen rakenteen.

Tiede pyrkii tekemään yksittäisten tapausten perusteella yleisiä johtopäätöksiä. Sama periaate toimii myös tietoa haettaessa. Verkkosivujen osoitteisiin kannattaa kiinnittää huomiota, monissa niistä noudetetaan vakiintuneita nimeämiskäytäntöjä. Esimerkiksi tulevan lukukauden opetusohjelman alustava versio löytyy usein verkosta kauan ennen kuin se linkitetään opiskelusivulta.

Ainakin takavuosina Wikla kehuskeli lukevansa opintoneuvonnassa opinto-opasta ääneen. Totta onkin, että huomattavaan osaan opintoneuvontaan tulevista kysymyksistä löytyy vastaus suoraan opinto-oppaasta tai laitoksen verkkosivuilta. Jos näin käy omalla kohdalla, sitä ei kuitenkaan ole syytä hävetä. Usein vastaukset kysymyksiin on helppo löytää, kunhan ensin osaa kysyä oikeat kysymykset. Näiden kysymysten keksiminen taas ei välttämättä ole lainkaan helppoa, ja juuri siinä opintoneuvojista voikin olla paljon apua.

Useimmilla opettajilla on tunnin tai kaksi kestävä vastaanotto kerran viikossa. Tyypillisesti nämä ajat ovat myös niin hankalia, että vastaanotolle on vaikea ehtiä, ja siksi monista opettajista tuntuukin, ettei vastaanotoilla käy juuri kukaan. Näistä kannattaa antaa palautetta. Vaikka vastaanotolla käyminen onkin suositeltavaa, voi opettajaa toki häiritä opintoasioissa muinakin aikoina. Ei professori syö tai ainakaan purematta niele, jos opiskelija tulee koputtamaan ovelle tai kysyy käytävällä jostain opintoihin liittyvästä. Näin ehkä saattaa jopa oppia tuntemaan professorin, mikä ei suurella laitokselle välttämättä muuten ole helppoa.

=== Tärkeitä päivämääriä ===

Ajan myötä saatat huomata, että tärkeät päivämäärät pysyvät samanlaisina vuodesta toiseen. Ihmiset ovat luonnostaan laiskoja eivätkä jaksa yleensä muuttaa asioita pelkästä muuttamisen ilosta.

Niinpä kannattaakin opetella ajoissa, mitä laitoksella missäkin välissä vuotta tapahtuu. Opetusohjelmat ilmestyvät, kursseille voi ilmoittautua ja opetusperiodit alkavat ja päättyvät aina suunnilleen samaan aikaan. Kun nämä ajat sisäistää, elämä laitoksella yleensä helpottuu, kun asiat eivät enää tule eteen yllättäen.

== Tutkintovaatimukset ==

Tutkintovaatimuksia lukiessa kannattaa muistaa, että kysymys on aina minimivaatimuksista. Ylimääräisiä kursseja saa suorittaa ja sivuaineita ottaa, vaikka tutkinto paisuisi paljonkin yli nimellisen 180+120 opintopisteen laajuuden.

Tutkintovaatimukset eivät myöskään ole Jumalan sanaa. Hyvällä syyllä niistä pystyy periaatteessa poikkeamaan, mutta prosessi voi olla sen verran raskas, että helpommalla saattaa päästä suorittamalla kaikki vaaditut kurssit. Helpointa tutkintovaatimuksista poikkeaminen on silloin, kun erikoistumislinjan tutkintovaatimukset puhuvat vain linjan aihepiiriin soveltuvista kursseista. Tuolloin linjan vastuuprofessori kyllä hyväksyy käytännössä minkä tahansa järkevän kokoelman kursseja, kunhan vain osaa perustella valintansa ja osoittaa, että kootut tiedot riittävät gradusta selviämiseen.

=== Ohjeita ja sääntöjä ===

Nyrkkisääntö on, että omatoimiseen opiskeluun pitäisi varata vähintään yhtä paljon aikaa kuin ohjattuun. Toisaalta taas sanotaan, että yksi opintopiste vastaa noin 27 työtuntia. Molemmat näistä ovat keskimäärin totta, vaikka vaihtelua onkin paljon niin opiskelijoiden kuin opintojaksojenkin välillä. Kannattaa joka tapauksessa aloittaa opinnot varovaisesti ennen kuin oppii tuntemaan omat kykynsä ja yliopisto-opintojen vaatimustason - sekä muistaa, että vaatimukset kasvavat opintojen edetessä. Mallilukujärjestyksen mukainen 30 op lukukaudessa nimittäin edellyttää kokopäiväistä työtä keskimääriseltä ja kohtalaisen motivoituneelta opiskelijalta, joka pyrkii hyviin oppimistuloksiin. Toisaalta lahjakas, motivoitunut ja asioita ennalta tunteva opiskelija, joka on myös valmis tekemään pitkiä päiviä, kykenee paljon nopeampaankin opiskelutahtiin tulosten kärsimättä.

Opinto-opas puhuu opiskelijakeskeisistä opetusmenetelmistä, moni muu paikka taas opiskelijalähtöisistä oppimismuodoista. Yhteistä näille kaikille on se, että erilaisia ryhmätöitä tehdään perinteistä luennot ja laskarit -mallia enemmän. Tällaisia menetelmiä soveltavilla kursseilla joutuukin usein varaamaan kalenteristaan neljän luento- ja kahden laskaritunnin lisäksi myös pari tuntia viikossa ryhmän tapaamisiin, mikä saattaa kiireisemmillä olla hankalaa.

Valitettavasti osa opetusta antavista henkilöistä on keksinyt käyttää "opiskelijalähtöisiä oppimismuotoja" selityksenä omalle laiskuudelleen tai viitsimättömyydelleen. Ihmiset ovat luonnostaan laiskoja, mutta toisaalta myös sen verran kunnianhimoisia, etteivät mielellään menetäkään mainettaan. Ohjausta yleensä saakin enemmän, jos sitä uskaltaa rohkeasti vaatia. Opetukseen liittyvissä ongelmissa voi ja tulee lähestyä TKO-älyn opintovastaavia.

Opiskelijalähtöisyys on joka tapauksessa saanut ristiriitaisen vastaanoton niin opiskelijoiden kuin opettajienkin keskuudessa. Monet pitävät niistä, sillä ryhmän paine motivoi usein yrittämään enemmän, jolloin oppimistulokset paranevat. Toisille taas ryhmistä on enemmän vaivaa kuin hyötyä, sillä ne vain hukkaavat aikaa, jonka voisi muuten käyttää opiskeluun tai muuhun hyödylliseen. Kannattaa joka tapauksessa suhtautua avoimin mielin ja kokeilla ennakkoluulottomasti niin opiskelijalähtöisiä oppimismuotoja kuin muitakin suoritusvaihtoehtoja. Moni huomaa opintojensa varrella, että hänelle sopiikin parhaiten jokin muu opiskelumuoto kuin on siihen asti kuvitellut. Lisäksi työelämässä harvemmin pääsee nakkiin, jossa saa nysvätä rauhassa ylhäisessä yksinäisyydessä - siksi niitä ryhmätyöskentelytaitojakin opiskellaan.

=== Luentokurssit ja erilliskokeet ===

Laitoksen normaali luentokurssi kestää yhden periodin ja on laajuudeltaan 4 opintopistettä. Se sisältää luentoja 4 tuntia viikossa (periodin viikot 1-6) ja laskuharjoituksia 2 tuntia viikossa (viikot 2-6). Joillain kursseilla on myös ensimmäisellä opetusviikolla laskarit, jotka kertaavat esitietovaatimuksia. Toisinaan on myös koko lukukauden kestäviä kursseja, joissa on molemmissa periodeissa 2 luentotuntia ja 2 laskarituntia viikossa.

Harjoitusten kutsuminen laskuharjoituksiksi eli laskareiksi on tapa, joka on tarttunut matematiikan laitokselta. Useimmilla kursseilla nimitys on harhaanjohtava, sillä tehtävät ovat yleensä ennemminkin pohdintaa vaativia tai ohjelmointitehtäviä kuin laskuja.

Joillain kursseilla laskarit ovat pakollisia, mikä tarkoittaa sitä, että tietty osa laskarikerroista pitää olla läsnä tai tehtävistä tehtynä, jotta kurssi menee läpi. Tehdyistä laskaritehtävistä saa yleensä pisteitä niin, että laskareista saatavat pisteet ovat noin 30% kurssin kokonaispisteistä - harjoituspisteet ovat siis merkittävässä osassa. Pisteet saattavat olla aitoja lisäpisteitä kurssikokeesta saatavien pisteiden päälle tai sitten osa kurssista saatavia kokonaispisteitä, jolloin laskareiden tekemättä jättäminen heikentää potentiaalista arvosanaa huomattavasti. Useimmissa tapauksissa tärkein laskareiden tekemisestä saatava hyöty on kuitenkin se, että silloin opiskelee koko kurssin ajan eikä vain hätäisesti lue tenttiin viime hetkellä. Nyrkkisääntönä voidaan pitää, että jos tekee kaikki laskaritehtävät niin läpipääsy on varma, todennäköisesti vieläpä hyvin arvosanoin.

Tyypillisissä laskareissa kiertää aluksi lista, johon osallistujat merkitsevät tekemänsä tehtävät. Nyrkkisääntö on, että tehtävän voi rastittaa tehdyksi, jos on tosissaan yrittänyt ratkaista sitä ja on valmis esittämään ratkaisunsa tai yrityksensä. Eri ihmisillä on kuitenkin huomattavasti toisistaan poikkeavia käsityksiä siitä, mikä tulkitaan yritykseksi. Järkevintä onkin toimia omantuntonsa mukaan, jos sellainen löytyy. Laskareiden pitäjä määrää jokaiselle tehtävälle yhden tai useamman esittäjän, joille annetaan jonkin aikaa keskustella ratkaisuistaan ja valmistautua niiden esittämiseen, minkä jälkeen ratkaisut esitetään luokan edessä. Käytännöt poikkeavat niin kurssikohtaisesti kuin laskareiden vetäjienkin kesken.

Harjoitustyön sisältävät kurssit ovat usein muita kursseja työläämpiä opintopistemäärään nähden, sillä harjoitustyö tulee usein luentojen ja laskareiden lisäksi kurssin nimellisen laajuuden siitä muuttumatta. Erityisen legendaarisia ovat Juha Vihavaisen C++- ja kääntäjäkurssit, joiden työmäärä opintopistettä kohti saattaa olla moninkertainen tavallisiin luentokursseihin verrattuna.

Erilliskokeet ovat vaihtoehtoinen tapa useimpien tutkintovaatimuksissa olevien kurssien suorittamiseen. Laitos ei kuitenkaan erityisemmin kannusta tähän, mikä näkyy esimerkiksi siinä, että tyypillisesti jonkin kurssin voi suorittaa vain neljässä tentissä vuoden aikana. Kannattaa kuitenkin kokeilla tätäkin suoritustapaa, sillä saattaa olla, että se soveltuu omiin opiskelutapoihin kontaktiopetukseen osallistumista paremmin. Lisäksi kannattaa muistaa, että jos käy tekemässä sivuaineen jossain keskustakampuksen tiedekunnassa, ovat kirjatentit niissä (rahoituksen puutteen takia) enemmän sääntö kuin poikkeus.

=== Laboratoriotyöt ===

Ohjelmoinnin harjoitustyö, Tietokantasovellus ja Tietorakenteiden harjoitustyö tehdään kukin yhden periodin aikana ryhmässä, jossa on 10-15 opiskelijaa. Ryhmiä on melkein joka periodissa sekä myös kesällä ainakin kerran. Koska tällaisen pienryhmäopetuksen järjestäminen on kallista, katsotaan esitietovaatimusten täyttymistä tiukemmin kuin luentokursseilla.

Koska osallistujamäärä on rajoitettu pieneksi, labraryhmään kannattaa ilmoittautua ajoissa eli heti silloin, kun ilmo-järjestelmä avataan ilmoittautumista varten. Sitten, kun kerran olet päässyt ryhmään, älä jätä menemättä aloitusluennolle tai ensimmäiseen tapaamiseen (aloitustapa vaihtelee labrasta riippuen). Ryhmän ensimmäiseen tapaamiseen on pakko osallistua. Jos et aio suorittaa labraa varaamassasi ryhmässä, peruuta ilmoittautumisesi '''etukäteen'''. Saapumattomuus ekaan tapaamiseen ilman pätevää syytä katsotaan yleensä labran keskeyttämiseksi.

Opinto-opas varoittaa laboratoriokurssien keskeyttämisestä ja ryhmän aloitustilaisuudesta pois jäämisestä. '''Nämä varoitukset on syytä ottaa vakavasti.''' Koska harjoitustyöryhmien pitäminen on suhteellisen kallista, haluaa laitos pitää ryhmät täysinä ja keskeyttäjät niistä poissa. Jos nyt harjoitustyön syystä tai toisesta keskeyttää, saattaa kestää kauan ennen kuin seuraavan kerran mahtuu mukaan ryhmään. Keskeyttäjät nimittäin joutuvat jatkossa ilmoittautumaan omaan ryhmäänsä, josta pääsee kurssille vasta siinä tapauksessa, kun ensi kertaa ilmoittautuneet eivät täytä kaikkia paikkoja kurssilla. Tyypillisesti kesän labroissa on enemmän tilaa kuin lukukausien aikana pidettävissä.

== Opintojen suunnittelu ==

Kuten opinto-opas toteaa, ovat LuK-tutkinto ja FM-tutkinto kaksi erillistä tutkintoa, eikä LuK-tutkintoon sidottuja opintoja voi hyväksikäyttää FM-tutkinnossa. Kandidaatin tutkinto kannattaa ottaa ulos heti, kun vaatimukset täyttyvät, ja jättää ylimääräiset opinnot maisterin tutkinnon puolelle. Kurssin suoritusajankohdalla ei ole väliä sen suhteen, mihin tutkintoon sen voi sisällyttää, poislukien suoritusten vanhentuminen tutkintovaatimusten muuttumisen myötä. Lähinnä kurssin taso ja kokonaisuuksiin sopiminen vaikuttaa siihen, miten paljon iloa siitä tutkintoa kasatessa on.

=== Kandidaatin tutkinnon opinnot (LuK) ===

Pääaineopintojen kurssien välillä on paljon riippuvuuksia, joita on syytä pyrkiä noudattamaan. Nämä riippuvuudet sanelevat pitkälti sen, '''missä järjestyksessä ja milloin''' kurssit tulee suorittaa. Myös valinnaisilla kursseilla on vielä tässä vaiheessa varsin hyvin määritellyt esitietovaatimukset, jotka sijoittavat kurssit mallilukujärjestyksessä toiseen ja kolmanteen opiskeluvuoteen.

Ensimmäisenä opiskeluvuonna kannattaa keskittyä pääaineeseen sekä pakolliseen matematiikan tai menetelmätieteen sivuaineeseen. Näin saa molempien opinnot hyvään vauhtiin heti alusta alkaen. Mahdollisia muita sivuaineita kannattaa miettiä alusta alkaen, sillä niiden opinnot tulee aloittaa jo toisena opiskeluvuonna, jos haluaa valmistua kandiksi kolmessa vuodessa. Maisterintutkintoonkin voi toki sijoittaa vapaavalintaisen sivuainekokonaisuuden.

Muista opinnoista toinen kotimainen kieli on yleinen riippakivi, joka kannattaa suorittaa heti kun Kielikeskus vain kurssille päästää. Ideaalinen tilanne on suorittaa virkamiesruotsi pois alta heti ensimmäisenä keväänä. Kynnys sen suorittamiseen ei ainakaan alene opintojen pitkittyessä.

Vaikka kandidaatin tutkinnon ohjeellinen tavoiteaika on kolme vuotta, laitoksella LuK-tutkinnon saa kolmessa vuodessa valmiiksi kai kaksi-kolme kymmenestä. Keskimäärin LuK-tutkinnon suorittaminen vie laitoksella neljä vuotta.

=== Maisterin tutkinnon opinnot (FM) ===

Maisterin tutkinnossa pakollisia kursseja on huomattavasti vähemmän kuin kandidaatin tutkinnossa, joten omien valintojen merkitys korostuu. Kannattaa siis miettiä, mitä todella haluaa opiskella, sekä ottaa selvää, millaista opetusta on lähiaikoina tarjolla. FM-tutkinnossa on tilaa niin ylimääräisille aineopintojen valinnaisille kursseille, uusille sivuaineille, vanhojen sivuaineopintojen jatkamiselle kuin varsinaisille syventävillekin opinnoillekin. Gradun aloitusta ei kannata lykätä loputtomiin, mutta ei sen aloittamista reilun vuoden jälkeen tule myöskään pitää kiveen kirjoitettuna sääntönä.

Maisterin tutkintoon tulevia opintoja voi suorittaa jo ennen kuin kandidaatin tutkinto on valmis. Näin kannattaa tehdä etenkin keskeisten tai harvoin luennoitavien kurssien kohdalla, mutta tietenkin vain silloin, kun näiden kurssien tosiasialliset esitiedot ovat jo hallussa. Kandidaatin tutkinto kannattaa kuitenkin suorittaa alta pois ripeästi; esimerkiksi seminaarien käymiseen vaaditaan käytännössä esitietojen puolesta Tieteellisen kirjoittamisen kurssin läpäiseminen.

=== Suuntautuminen ===

Periaatteessa jo kandidaatin tutkinnon loppupuolella pitäisi olla jonkinlainen käsitys siitä, miltä erikoistumislinjalta tulee maisterin tutkinnon suorittamaan. Tästä ei kuitenkaan kannata kantaa erityistä huolta. Opintojen edetessä kyllä selkenee vähitellen, mitkä alat tietojenkäsittelytieteessä kiinnostavat. Gradun aloittaminen on selkeä piste, jossa joutuu sitoutumaan johonkin tiettyyn erikoistumislinjaan.

=== LuK-opintojen ajoitus===

Mallilukujärjestys alkaa suhteellisen varovaisesti, mutta ainakin aluksi sitä kannattaa pyrkiä noudattamaan, jos ei ole aikaisempia opintoja alalta. Nopeasti etenevä tai alaa jo tunteva voi tiivistää tahtia esimerkiksi suorittamalla Tietokantojen perusteet jo syksyllä, jolloin Tietokantasovelluksen kerkeää tehdä vielä ensimmäisen lukuvuoden aikana. Myös muita opintojaksoja voi vastaavalla tavalla siirtää aikaisempiin lukukausiin, jolloin Ohjelmistotuotantoprojektiin voi mennä jo toisen vuoden keväällä. Opintojen alkupään kursseja sekä laboratoriokursseja ja Ohjelmistotuotantoprojektin voi suorittaa myös kesällä.

Pakollisissa matematiikan tai menetelmätieteiden sivuaineopinnoissa kannattaa pyrkiä siihen, että koko ajan on jokin kurssi menossa, kunnes vaatimukset on täytetty. Matematiikan taitoja tarvitsee eniten opintojen loppupuolella, jolloin taitojen olisi hyvä olla jo olemassa.

Kurssien välisten riippuvuuksien takia ensimmäiset kaksi vuotta ovat varsin pääainepainotteisia, kun taas kolmantena vuonna on paljon tilaa sivuaine- ja muille opinnoille. Tämä tarkoittaa toisaalta sitä, että jos suorittaa sivuaineita kovin paljon opintojen alkuvaiheessa, joutuu kandidaatin tutkinnon kolmessa vuodessa suorittaakseen opiskelemaan jossain välissä tiiviiseen tahtiin. Niinpä toinen sivuaine kannattaakin aloittaa vasta siinä vaiheessa, kun pakolliset luentokurssit ja matematiikan tai menetelmätieteiden minimivaatimukset ovat jo takana.

=== Kurssien välisiä riippuvuuksia ===

Opinto-opas esittää sangen monimutkaiselta näyttävän kaavion kurssien välisistä riippuvuuksista. Suurimmalla osalla kursseista esitietovaatimukset ovat pikemminkin vahvoja suosituksia kuin valvottuja vaatimuksia. Jos jonkin kurssin esitietovaatimuksia vastaavia tietoja ei hallitse, saattaa kurssin käyminen olla tarpeettoman hankalaa tai jopa mahdotonta. Saattaa myös olla, ettei kurssista tällöin saa irti niin paljon kuin saisi, jos esitiedot olisivat kunnossa. Esitietojen kohdalla pääasia kuitenkin on, että opiskelija kokee itse esitietonsa olevan kunnossa. Esitietojen perimmäinen tehtävä ei missään nimessä ole hankaloittaa tai hidastaa kenenkään valmistumista.

Tästä säännöstä on kaksi poikkeusta. Poikkeuskursseille pääsemisen ehtona on, että esitietovaatimuksina olevat kurssit on suoritettu, mikä myös tarkistetaan.

Ensimmäisen poikkeuksen muodostavat teoreettisesti vaikeat kurssit, joista ei tilastollisin menetelmin tutkitusti tahdo päästä läpi vajailla esitiedoilla. Tästä syystä esitiedot tarkastetaan Tietorakenteiden, Laskennan mallien ja Rinnakkaisohjelmoinnin kursseilla. Puuttuvat muodolliset kurssisuoritukset voi kuitata esitietokokeella juuri ennen kurssia, jos uskoo että taidot ovat kunnossa.

Toisen poikkeuksen muodostavat kalliit pienryhmäkurssit eli laboratoriokurssit, Ohjelmistotuotantoprojekti ja Tieteellisen kirjoittamisen kurssi. Ohjelmistotuotantoprojektissa ja Tieteellisen kirjoittamisen kurssissa on suositeltavaa, että on suorittanut kaikki muut pakolliset aineopinnot sekä mahdollisuuksien mukaan myös valinnaisia kursseja sekä syventävien opintojen kursseja. Kun on opiskellut minimivaatimuksia enemmän ennen näitä kursseja, saa niistä yleensä enemmän irti.

Ohjelmistotuotantoprojektin ja Tieteellisen kirjoittamisen kurssin samanaikaista suorittamista pidetään yleensä huonona ajatuksena. Molemmissa tehdään suurehko työ, jonka parissa työskentely painottuu useimmilla kurssin loppupuolelle. Jos molempia suorittaa samaan aikaan, saattaa lopussa tällöin tulla kiire, jolloin suoritusten taso heikkenee. Jos kuitenkin pystyy työskentelemään kurinalaisesti ja itsepintaisesti koko lukukauden, ei Ohjelmistotuotantoprojektin ja Tieteellisen kirjoittamisen kurssin samanaikainen suorittaminen ole mahdottomuus. LuK-tutkinnon loppuvaiheen opintojen lykkäämisessä ei missään tapauksessa ole järkeä.

=== FM-opintojen ajoitus ===

Opinto-opas suosittelee varsin tiukkaa aikataulua FM-tutkinnon suorittamiseen. Tässä vaiheessa suosituksista kuitenkin kannattaa pyristellä irti, ellei ole aikeissa suorittaa ns. putkitutkintoa. Minimivaatimukset ovat todellakin vain minimivaatimuksia, ne täyttämällä ei vielä osaa kovinkaan paljon, vaan ainoastaan saa valmiudet opiskella alaa lisää. Yliopisto tarjoaa erinomaiset mahdollisuudet opiskella monia eri aloja järkevissä ja tasapainoisissa kokonaisuuksissa niin syvälle kuin vain haluaa, eikä toista tällaista tilaisuutta yliopiston ulkopuolella yleensä enää tule. Ei siis kannata päästää opinto-oikeudestaan irti, jos opiskelu vielä maistuu, vaikka olisikin jo polvia myöten työelämässä.

== Opetus ja opiskelu ==

=== Opintopisteet ===

Vanhassa järjestelmässä opinnot mitoitettiin opintoviikkoina, jotka vastasivat 40 tunnin työskentelyä. Uudessa järjestelmässä taas käytetään opintopisteitä, jotka on määritelty niin, että 1600 tunnin työvuoteen mahtuu 60 opintopistettä. Suoraan tämän perusteella muuntamalla saataisiin vastaavuus 1 ov = 1,5 op, mikä ei kuitenkaan käytännössä pidä paikkaansa. Koska maisterin tutkinnon laajuus on pyritty pitämään entisellään, on keskimäärin 160 ov = 300 op eli 1 ov = 1,875 op. Käytännössä vastaan tulee monenlaisia kertoimia 1,5:n ja 3:n välillä.

Yliopiston 60 opintopisteen vuosimäärästä puhuttaessa tulee huomata, että moinen kertymä on useimmille laitoksen opiskelijoille mahdoton. Keskiarvo lienee jossain 40 opintopisteen paikkeilla (tosin keskihajontakin on merkittävä). Useimmiten opiskelijat valittavatkin kurssien läpäistystä saatavan opintopistemäärän olevan aivan liian pieni työmäärään nähden. Niin totta kuin se onkin, se ei käy valitettavasti KELAlle perusteena.

=== Työssäkäynti ===

Työssäkäynti lukukausien aikana viivästyttää opintoja ja saattaa jopa vieraannuttaa yliopistosta niin, että opinnot käytännössä keskeytyvät. Toisaalta pelkällä opintotuella ja kesätöillä ei vielä kovin mukavasti elä, joten töissä käynti saattaa olla välttämätöntä, jos haluaa myös elää eikä vain opiskella. Alan töissä käynti usein myös lisää opiskelumotivaatiota, kun näkee opiskelemistaan asioista muitakin puolia kuin vain sen, mitä laitos opettaa. Opintojen alkuvaiheessa kannattaa kuitenkin pyrkiä opiskelemaan kokopäiväisesti, sillä myöhemmin opintoihin mukaan pääseminen on vaikeampaa. "Välivuodet" ovat koituneet monelle laitoksen opiskelijalle sudenkuopaksi; kannattaa harkita useampaan kertaan ennen kuin lähtee moista toteuttamaan.

=== Arvosanat ===

Tärkeintä opinnoissa ei ole mahdollisimman hyvien arvosanojen metsästys, mikä tuoreen ylioppilaan on usein jostain syystä vaikea ymmärtää. Jos yrittää saada joka kurssista nelosen tai vitosen, opiskelutahti alkaa mitä todennäköisimmin ennen pitkää kärsiä. Ensisijaisen tavoitteen tulee olla, että opinnot etenevät; huonoja arvosanoja voi (Ohjelmistotuotantoprojektia ja Tieteellistä kirjoittamista lukuunottamatta) käydä aina korottamassa, jos siihen kokee jotain tarvetta. Arvosanojen perään harvemmin työelämässä kuulutetaan, reilusti venynyttä tutkinnon suorittamisaikaa voi sen sijaan joutua selittelemään.

Monilla perus- ja aineopintojen kursseilla vitosenkin voi saada suhteellisen helposti. Hyvät arvosanat kannattaa tietysti ottaa vastaan niin kauan kuin kokee että niitä "ilmaiseksi jaellaan", mutta kursseja ei kannata missään nimessä alkaa dropata sen takia, että haluaisi saada jostain kurssista vitosen.

Laitoksen opiskelijoiden keskuudessa kuultu vitsi on, että käpistelijöillä arvosanatkin ovat binääriä: ykköstä ja nollaa. Käytännössä matka hylätystä ykköseen on huomattavasti pitempi kuin matka ykkösestä vitoseen. Lisäksi arvosana riippuu edelleen hyvin pitkälti kokeesta suoriutumisesta. Tenttikerratkin ovat yksilöitä ja välillä huomaakin, että arvosanat 1-5 riippuvat enemmän tuurista kuin osaamisesta.

=== Muuta huomioitavaa ===
Opinto-oppaassa joidenkin kurssien toiset luentokerrat on merkitty pääaineopiskelijoille ja toiset taas sivuaineopiskelijoille tarkoitetuiksi. Nämä ovat kuitenkin vain suosituksia, eivät ehdottomia rajoituksia. Useimmiten sekä pää- että sivuaineopiskelijat voivat ilmoittautua mille tahansa luennointikerralle.

Matematiikan kurssit

2010-08-29T17:26:12Z

Tentd: Kombinatoriikasta

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen vuoden kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot]] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

Paremman puutteessa katso kurssin vanhan version kuvaus[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Useimmat tietojenkäsittelytieteen laskennalliset ongelmat ovat nimenomaan kombinatorisia (optimointi)ongelmia, joten kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Lukualueet ==
3 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole, sillä kurssi täydentää lähinnä täydentää lukiomatematiikan tietoja kompleksilukujen osalta.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään lähinnä kompleksilukuihin, näiden peruslaskutoimituksiin (yhteenlasku, kertolasku ja liittoluvut) sekä geometriseen tulkintaan. Kurssi on melko helppo ja se suoritetaan perinteisesti pelkästään laskaritehtävillä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssilla ei esitellä edes kompleksilukujen matemaattisia sovelluksia eikä siis myöskään tietojenkäsittelytieteen kannalta relevantteja asioita juuri tule. Kurssi kuitenkin sopii matematiikan opintojen alkuun leppoisan luonteensa vuoksi.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta syventävien opintojen kokonaisuuden lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Sivuainekuvauksia

2010-08-28T16:00:47Z

Tentd: /* Kieliteknologia */

Sivuainekuvausten ajantasaisuudesta ei takeita. Sivuaineiden sovittamisesta mallilukujärjestykseen ks. [[Opintojen malliaikataulu]].

==Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta==

===Fysiikka===
*Arkipäivän fysiikkaa
**Kurssi nimeltä "arkipäivän fysiikkaa" tms on usein puheena fysiikan fuksien kanssa. Siinä kuulemma esitellään sitä hauskaa fysiikkaa, ja räjäytellään kananmunia ym. mikrossa. --Sini
**Tämä keväisin järjestettävä kurssi vaatii istumalihaksia, sillä kurssilla on luentopakko. Kurssista saa suoristusmerkinnän eikä tenttiä pidetä. Luennoilta saa olla pois kolme kertaa, mutta yleensä luennot ovat sen verran hauskoja ja normaalista poikkeavia, että poisjääminen saattaa jopa harmittaa. Ja kuten fysiikan laitokselle tyypillistä, ennakkoilmoittautumista ei ole vaan ilmoittautuminen tapahtuu menemällä luennolle. Vuoden 2007 kurssisivu löytyy täältä http://www.helsinki.fi/~khamalai/arkipaiva/ -Maria

Fysiikan kursseille ilmoittaudutaan ekalla luennolla kirjoittamalla nimi paperiin. Fysiika kursseilla on myös laskareita, ja laskariryhmiin jako tapahtuu myös erilailla kuin meillä; ekalla luennolla jaetaan listat joissa on lueteltuna kaikki laskariryhmät ja siitä ruksitaan sopivatko ajankohdat hyvin/jotenkuten/huonosti. Näiden perusteella assarit (tai joku) muodostavat laskariryhmät ja ilmoittavat yleensä ekan viikon aikana siitä mihin ryhmään opiskelija on sijoitettu.

Jokaisen viikon laskarit tulevat edellisellä viikolla nettiin kurssin kotisivuille. Ne lasketaan paperille ja palautetaan määrättyyn päivään mennessä fysiikanlaitoksella sijaitsevaan laatikkoon, josta assari käy ne hakemassa. Assari tarkastaa tehtävät ja pisteyttää ne. Laskareissa tehtävät käydään läpi ja taululle menosta voi saada lisäpisteitä. Laskaripisteiden saanti ei kuitenkaan edellytä laskareissa läsnäoloa, mutta läsnäolo on suositeltavaa jos ei ole osannut kaikkia tehtäviä, sillä kaikilla kursseilla tehtävistä ei tule mallivastauksia nettiin.

(työn alla. lisää myöhemmin, nyt meen fyssan luennolle ;) -emppi)

===Matematiikka===

* Matematiikan kurssit parantavat teorianpyörittelyvalmiutta. Paljon todistamista ja käsitteitä, vähemmän laskemista. Mikäli matematiikka uppoaa, siitä on helppo saada opintopisteitä.
* Johdatus diskreettiin matematiikkaan
** Ainoa pakollinen tutkinnossa
* Matematiikka tutuksi
** Näppärä syksynaloituskurssi, ollut alunperin kevyttä, ei mene lukion pitkän oppimäärän yli (kurssi muuttuu vuosittain)
* Muita käpistelijälle hyödyllisiä ja suht helppoja:
** Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (vektoreita ja matriiseja, nam!)
** Analyysin kurssit, (I ja II tai perus- ja jatkokurssit, jälkimmäiset ehkä käytännönläheisempiä)
** Johdatus todennäköisyyslaskentaan ("jatkokurssi" Johdatus tilastolliseen päättelyyn)
** Logiikka I
* Matematiikan sivuainekokonaisuus tai menetelmätieteiden (mat+tilastotiede-yhdistelmä) sivuainekokonaisuus pakollinen tutkinnossa
* ks. [[Matematiikan sivuaineopinnoista]]

===Tilastotiede===

* Tilastotieteen kursseja voi käyttää menetelmätieteiden sivuainekokonaisuudessa, ja niistä moni ei ole matemaattisesti vaikeita.

Menetelmätieteen sivuainekokonaisuuden listan kurssit heuristisesti kurssisivuja pläräämällä päätellyssä tarjoamisvarmuusjärjestyksessä:

* Tilastotieteen johdantokurssi (4 op + 6 op): Käytävissä joko 4 op:n (1 periodi) tai 10 op:n (2 periodia) kokonaisuutena, erilliskoemahdollisuus jälkimmäisestä, syksyisin (ja keväisin)
* Tilastotieteen jatkokurssi (5 op + 5 op), keväisin
* Tilastotiede käytännön tutkimuksessa, 8/10 op, syksyisin
* Todennäköisyyslaskennan kurssi, 10 op, syksyisin (esitietona kai matematiikan Johdatus todennäköisyyslaskentaan)
* Tilastollisen päättelyn kurssi, 10 op, syksy-kevät-taitteessa?? ("II ja III") (esitietoina Todennäköisyyslaskennan kurssi, Tilastotieteen jatkokurssia suositellaan)
* Data-analyysin kurssi (suunnilleen keväisin)
* Monimuuttujamenetelmät (suunnilleen keväisin)
* Mittaaminen ja tilastollisen tiedon keruu (ilmeisesti epäsäännöllinen, viim. havainto S2007)
* <strike>Tilastollisen tietojenkäsittelyn perusteet</strike> - ei luennoida enää, osia sisällytetty Data-analyysin kurssiin
* <strike>Frekvenssiaineistojen analyysi</strike> - jos tämä kurssi on olemassa, se on vaihtanut nimeä tai se elää ilman kurssisivua

Käytäessä menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta eli osa pakollisesta sivuaineesta on tilastotiedettä pelkän matematiikan sijaan, tarvitaan vähintään 10op matematiikkaa ja vähintään 10op tilastotiedettä. Siis loput 10op sivuaineesta voivat olla kumpaa ainetta tahansa. Tilastotieteen johdantokurssi on 10op, samoin tilastotieteen jatkokurssi, joten jos haluaa panostaa enemmän tilastotieteeseen, voi käydä matematiikasta pakollisen diskreetin ja vaikkapa matematiikka tutuksi- kurssin ja sitten tilastotiedettä johdanto- ja jatkokurssin, jolloin on kasassa koko menetelmätieteiden lyhyt sivuaine.

===Tähtitiede===
*Maailmankaikkeus nyt
** Kurssi ei edellytä mm. matemaattista osaamista eli kurssi soveltuu kaikille tähtitieteestä vähänkään kiinnostuneille vaikka kurssi onkin samalla myös tähtitieteen pääaineopiskelijoille pakollinen peruskurssi. Vaikka tähtitiedettä ei sivuaineeksi suunnittelisikaan, voi kurssin käydä pelkästään puhtaasta mielenkiinnosta. Luennot ovat tältä syksyltä jo alkaneet, mutta mukaan pääsee vielä! Erillistä ilmoittautumista ei ole, ilmoittautuminen tapahtuu menemällä paikan päälle. Kurssilla ei ole laskareita, vaan kurssi suoritetaan luennoilla ja tentillä. Luennot pidetään Chemicumissa (kemian laitos) salissa A129. Lisätietoa kurssista täällä http://www.astro.helsinki.fi/opetus/kurssit/MKnyt/index.html --Maria

*Tähtitieteen perusteet
**Kurssi on edeltäjäänsä jo paljon vaativampi. Matemaattiset taidot astuvat kuvaan ja kurssille suositellaankin matematiikan appron suorittamista tai lukion pitkän matematiikan hallintaa. Kurssiin kuuluu laskuharjoituksia, jotka löytyvät kurssin sivuilta. Oikeus tenttiin osallistumiselle saadaan palauttamalla laskuharjoitukset viikoittain tiettyyn päivämäärään mennessä Chemicumin vahtimestarikopin viereisessä syvennyksessä sijaitsevaan laatikkoon. Ainoastaan pelkkä tehtävien palauttaminen ei kuitenkaan riitä, sillä 30% tehtävistä täytyy olla hyväksytysti suoritettuja. Kurssia EI siis pysty suorittamaan pelkästään Tähtitieteen laitoksen laitostentissä, vaan kurssi täytyy olla käytynä. Lisää kurssista osoitteessa http://www.astro.helsinki.fi/opetus/kurssit/perusteet/index.php. --Maria

== Humanistinen tiedekunta ==

===Kieliteknologia===
(kesken)

'''YLEISTÄ:'''

Kieliteknologia (entinen tietokonelingvistiikka) on aine, jonka sisältöä ja lopullista tarkoitusperää edes sen pääaineopiskelijatkaan eivät välttämättä osaa kovin tyhjentävästi selittää (Eräs paatunut kieliteknologi halusi selittää asian, krhm, näin: http://xkcd.com/114/). Aine löytyy humanistisesta tiedekunnasta Nykykielten laitoksen alaisuudesta, mutta aihe ei loikkaa lopulta kovinkaan kauas käpistelystä. Kieliteknologian pääaineopiskelijoiden pakollisiin kursseihin kuuluvatkin mm. ohjelmoinnin perusteet samoin kuin käpistelijöilläkin. Meitä käpistelijöitä sivuaineilee kieliteknologiassa kohtalainen määrä ja vastaavasti ei ole kovinkaan tavatonta, etteikö käpistely olisi monen kieliteknologin looginen valinta sivuaineeksi. Kieliteknologi onkin pohjimmiltaan ihminen, joka on kiinostunut humaaneista aineista (kielet, kielitiede, psykologia, kognitiotiede, puheentutkimus, käännöstiede...) mutta niiden lisäksi samalla myös tekniikasta. Kieliteknologiaa tarvitaan niin tekstinkäsittelyohjelmissa, käännöstieteessä kuin mobiiliteknologiassakin. Kieliteknologit työllistyvätkin mm. IT-alalle, mutta monipuolinen koulutus humanististen aineiden ja tekniikan yhdistämisessä auttaa työllistymään usealle eri alalle.

Opiskelumahdollisuudet kieliteknologiassa eivät kuitenkaan rajoitu pelkästään Helsingin yliopiston antamaan tarjontaan, sillä yliopistomme (sekä laitoksemme) kuuluu valtakunnalliseen [http://www.ling.helsinki.fi/kit/verkosto/index.shtml KIT-verkostoon], johon kuuluvat lisäksemme Joensuun, Jyväskylän, Oulun, Tampereen, Turun ja Vaasan yliopistot, sekä Tampereen teknillinen yliopisto ja TKK. Tarkemmat tiedot verkostoon kuuluvista laitoksista näkee [http://www.ling.helsinki.fi/kit/verkosto/kit-laitokset.shtml KIT-verkoston sivuilta]. Kursseja suorittaekseen niihin on hankittava JOO ([http://www.joopas.fi/index.php?node=Joopas_aloitussivu Joustava opinto-oikeus]) normaalin käytännön mukaisesti. Aikaisemmin JOOn saaminen toisen KIT-verkoston yliopistoon oli enemmänkin pelkkä muodollisuus kuin opinto-oikeuden hakeminen, mutta verkoston ns. kokeiluaika päättyi juuri ja uusi käytäntö on vielä hakusessa.

Tietojenkäsittelytieteen laitoksella kieliteknologia kuuluu uusissa tutkintovaatimuksissa Tiedonhallinta -suuntautumisvaihtoehdon alaisuuteen. Laitoksen henkilökunnasta kieliteknologiasta ja siihen suuntautumisesta tietää erityisesti [http://www.cs.helsinki.fi/u/hahonen/ Helena Ahonen-Myka].

'''KURSSIT (tutkintovaatimukset 2007-2009):'''

*'''Clt100S Kieliteknologia, perusopinnot ''sivuaineopiskelijalle'' (25 op)'''
**'''Clt115 Kielitiede (8-10 op)'''
***Cyk110 Yleisen kielitieteen peruskurssi (2 op)
***FP1 Fonetiikan perusteet (2 op)
***Cyk130 Fonologian ja morfologian harjoituskurssi (3 op)
***Cyk140 Syntaksin harjoituskurssi (3 op)
**'''Clt135 Kieliteknologian tekniset taidot (8 op)'''
***Clt130 Kieliteknologian ATK-ympäristö (2 op)
***Clt131 Tekstityökalut (3 op)
***Clt132 Verkkosivujen käsittely (3 op)
**'''Clt140 Kieliteknologian johdanto (3/6 op)'''
**'''Clt195 Vapaavalintaiset opinnot (3-7 op)'''

Kieliteknologia on periaatteessa vapaasti opiskeltava aine, mutta vaatii virallisessa mielessä käymään ''Yleisen kielitieteen peruskurssin (Cyk110)'' ja läpäisemään sen annettujen vaatimusten mukaisesti ennen varsinaista opinto-oikeutta. Kurssi on suoritettava minimissään 2op suuruisena ja kurssista on saatava arvosana 3. Periaatteessa tämä ei vielä estä kieliteknologian kursseille osallistumista, joskin se saatetaan tarkistaa. Allekirjoittanut on osallistunut parille kurssille ilman ns. opinto-oikeutta ja eräällä kurssilla oikeus osallistumiseen tarkistettiin, jolloin olin suorittanut kurssin, eli minulta löytyi tiedot palautetuista viikkotehtävistä mutta ei vielä suoritusmerkintää. Kurssi on kuitenkin hyvä suorittaa ensin, sillä sieltä saa valmiudet tuleville kursseille. Yleisen kielitieten peruskurssi järjestetään syksyisin periodilla I.

Käpistelijöiden ei tarvitse osallistua kurssille ''Kieliteknologian ATK-ympäristö (Clt130)'', sillä kurssi vastaa samoja tietoja, jotka meillä käydään läpi Tietokone työvälineenä -kurssilla (siis lapiossa ;)) ja täten korvaa kyseisen kurssin.

Kurssille ''Tekstityökalut (Clt131)'' (entinen Korpusten käsittely) tarvitsee pääsyn unix- tai Linux-koneelle, joka meillä toki jo on, mutta oikeudet Yleisen kielitieteen laitoksen unix-koneelle, eli ns. [http://www.ling.helsinki.fi/atk/palvelut/luvat.shtml ling-laajennukseen], on milteipä välttämätön. Ling-laajennusta pyydetään kieliteknologian koordinaattori Hanna Westerlundilta joko sähköpostitse (hanna.westerlund@helsinki.fi) tai käymällä Hannan luona henkilökohtaisesti Siltavuorenpenkereellä kieliteknologian laitoksella huoneessa 314. Kurssia saattaa opettaa henkilö, joka olettaa käpistelijöiden automaattisesti osaavan kaikki kurssin asiat jo entuudestaan, mutta sitä ei tarvitse säikähtää vaan luennoilla voi istuskella ihan hyvällä omatunnolla jos asiat eivät tunnukaan olevan niin simppeleitä kuin luennoitsija antaa ymmärtää :). Luennot poikkeavat meille tutusta kaavasta ja kurssin luennot ovat pikemminkin laskarityyppisiä.

*'''Clt200S Kieliteknologia, aineopinnot ''sivuaineopiskelijalle'' (35 op)'''
**'''Clt235 Ohjelmoinnin ja luonnollisen kielen käsittelyn perusteet (9 op)'''
***Clt230 Ohjelmoinnin perusteet (3 op)
***Clt231 Luonnollisen kielen käsittelyn perusteet (3 op)
***Clt233 Luonnollisen kielen jäsennysmenetelmät (3 op)
**'''Clt236 XML (4 op)'''
**'''Clt265 Morfologinen jäsennys (6 op)'''
***Clt260 Morfologiset kielenkäsittelyohjelmat (3 op)
***Clt270 Äärellistilaiset jäsennysmenetelmät (3 op)
**'''Clt255 Kieliteknologian tilastomenetelmät (3 op)'''
**'''Clt295 Vapaavalintaiset opinnot (13 op)'''
***Clt234 Luonnollisen kielen käsittelyn muita sovellusaloja (3 op)
***Clt282H Harjoittelu (2-5 op)
***Clt220 Puhesynteesin perusteet (3 op)
***Cyk215 Kieliopin kuvaus ja teoria (3-7 op)
***Cyk222 Kielitypologia (3-5 op)
***Cyk257 Korpuslingvistiikan menetelmät (3-5 op)
***Clt290 Muu kieliteknologinen osio (1-7 op)

(jatkuupi.. -Maria =) )

===[http://www.helsinki.fi/filosofia/filo/opetus.htm Teoreettinen filosofia]===

'''Kts. kohta [[Sivuainekuvauksia#Käytännöllinen filosofia|Käytännöllinen filosofia]] jossa yleistä asiaa filosofian opiskelusta'''

Itse en ole lukenut teoreettista filosofiaa, mutta uskoisin että samat periaatteet pätevät täällä niinkuin käytännöllisen puolellakin. Kurssien sisällöstä en osaa sen enempää sanoa.

Perusopinnot (25 op) koostuvat myös johdantokursseista eri filosofian osa-alueille.

*Johdatus filosofian historiaan
**Yhteinen käytännöllisen kanssa
*Yksi seuraavasta kolmesta jaksosta:
**Johdatus kieli- ja mielenfilosofiaan
**Johdatus etiikkaan
***Yhteinen käytännöllisen kanssa
**Johdatus yhteiskuntafilosofiaan
***Yhteinen käytännöllisen kanssa
*Johdatus filosofiaan
**Yhteinen käytännöllisen kanssa
*Johdatus tieto-oppiin
**Yhteinen käytännöllisen kanssa
*Johdatus metafysiikkaan
*Johdatus tieteenfilosofiaan
*Johdatus logiikkaan
**Yhteinen käytännöllisen kanssa

== Käyttäytymistieteellinen tiedekunta ==

===Kasvatustiede===

Jos opettaminen tai henkilöstön kehittäminen (HR) sattuu kiinnostamaan kannattaa sivuaineeksi harkita kasvatustieteitä.

Kasvatustieteen sivuainekokonaisuus koostuu 25 op:n perusopintokokonaisuudesta.
Sivuainekokonaisuus on kaikille vapaa ja kursseille ilmoittaudutaan Weboodin kautta.
Ilmoittautumisen jälkeen riittää kun kävelee luentosaliin.
Kasvatustieteen laitoksen 'pääkallopaikka' on [http://www.helsinki.fi/teknos/opetustilat/keskusta/s20rminerva/default.htm Siltavuorenpenkereellä], mutta erittäin suuri osa luennoista luennoidaan [http://www.helsinki.fi/teknos/opetustilat/keskusta/m11/default.htm Mariankatu 11:ssä].
Jos suorittaa avoimen yliopiston kursseina, luennot ovat joko päärakennuksella tai fabianinkatu 26:ssa.

Lukuvuonna 2007-2008 kurssit ovat jakautuneet seuraavalla tavalla:

# P1. Johdatus kasvatustieteisiin (3 op)
# P2. Kasvatus, yhteiskunta ja kulttuuri (4 op)
# P3. Opetus ja oppiminen (4 op)
# P4. Oppiminen työelämässä (4 op)
# P5. Kohti tutkivaa työtapaa (5 op)
# P6. Kasvatus elämänkulussa (5 op)

Kursseilla luetaan ja kirjoitetaan melko paljon (n. 100s luettavaa ja 1s kirjoitettavaa / op) ja ensimmäiset kirjat tuntuvat erittäin vaikeasti aukeavilta sanaston ja termistön ollessa vielä täysin vierasta. Tämän takia suosittelen sivuaineilijoiden ehdottomasti käyvän luennoilla, koska vaikka kaikki kurssit voi suorittaa tenttimällä ylimääräisen kirjan, luennoilla selvitetään yleensä termistöä, joka siten auttaa ja nopeuttaa varsinaisten tenttikirjojen lukemista.

Varsinaisia esitietovaatimuksia kursseille ei ole lukuunottamatta viimeistä kurssia ( P6 ), jonka alkaessa kaikki aiemmat kurssit tulisi olla käytyinä.

HUOM: Koska Kasvatustiede on humanistinen aine, ei kannata olettaa opettajien osaavan käyttää moderneja viestintävälineitä, kuten .pdf-muotoisia dokumentteja tai edes sähköpostia...

HUOM2: Tenttitulokset tulevat VAIN siltavuorenpenkereen seinälle, nettiin niitä on turha odottaa.

HUOM3: Toisin kuin käpistelyssä, kasvatustieteissä osasuoritukset jäävät roikkumaan ilmaan ja ne voi käydä suorittamassa myöhemmin. (Esim. Luettavana kaksi kirjaa, kummastakin kysytään tentissä. Feilatessasi yhden voit käydä suorittamassa vain ko. kirjan uusinnassa. Tämä tosin kannattaa tarkistaa aina erikseen opetajalta.)

Tarkemmin kasvatustieteestä oppiaineena kasvatustieteen sivuilla:
http://www.helsinki.fi/behav/opiskelu/oppiaineet/kasvatustieteet.htm

- Seise,
Opintovastaava -07

===Kognitiotiede===

Kognitiotieteen sivuilta:
''Kognitiotiede on monitieteinen tieteenala joka tutkii tietoilmiöitä kuten havaitsemista, oppimista, muistia, ajattelua, kieltä ja käsitteitä, sekä näiden syntymekanismeja. Yhteistä näille on, että niitä voidaan tarkastella tiedon esittämisen ja informaationprosessoinnin näkökulmasta.''

''Vaikka pääpaino on usein aikuisen ihmisen kognition tutkimisella, myös kognitiivisen kehityksen, muiden eläinten kognitiivisten toimintojen ja keinotekoisten järjestelmien informaationprosessoinnin tutkiminen kuuluu kognitiotieteen piiriin.''

Kognitiotiede on varsin kätevä yhdistelmä tietojenkäsittelytieteen kanssa, ja se mainitaan usein hyvänä sivuainevaihtoehtona erikoistumislinjojen omilla sivuilla. Erikoistumislinjoista fuksien ei tosin tarvitse vielä välittää hetkeen.

Perusopintojen ja aineopintojen opintokokonaisuuksien (Cog100, Cog200) suoritusoikeus on vapaa kaikille Helsingin yliopiston perustutkinto-opiskelijoille. Myös yksittäisiä syventävien opintojen opintojaksoja voidaan suorittaa, ja sisällyttää sivuainekokonaisuudessa aineopintoihin.

====Perusopinnot====

Cog101 Johdatus kognitiotieteeseen, 5 op

Cog103 Kognitiotieteen historia & klassikot I, 4 o

Cog111 Kognitiivisen psykologian ja biologisen psykologian perusteet, 5 op * (Tunnetaan myös nimellä kognitiivinen & neuropsykologia.)

Cog121 Tieteellinen päättely & selittäminen kognitiotieteilijöille, 5 op

Cog131 Kieli merkitys ja logiikka, 3 op

CYK110 Yleisen kielitieteen peruskurssi, (väh.) 3 op

====Aineopinnot====

Cog202 Kognitiotieteen tutkijaseminaari, 2 op

Cog203 Kognitiotieteen historia & klassikot II, 6-10 op

Cog211 Kognitiivinen psykologia II, 6 op **

Cog212 Havaintopsykologia I, 6 op **

Cog241 Kognitiivinen mallintaminen I, 7-10 op

Kognitiotieteessä ei voi välttyä kirjoilta. Jotkut opettajat ovat edistyksellisiä ja laittavat kaiken tarvittavan materiaalin nettiin, mutta läheskään aina näin ei ole. Kursseille ilmoittaudutaan [http://helsinki.fi/weboodi weboodista].

*) Huom! Sivuaineopiskelijat voivat ottaa vain kirjatentin!

**) Huom! Edellyttää psykologian opinto-oikeutta. Sellaisen saa tasokokeella.

Laatikossa esitetyt ongelmat voi kiertää opiskelemalla kurssit Avoimen yliopiston puolelta, jolloin opetus tapahtuu normaalisti. Avoimen opinnot ovat kaikille yliopiston perustutkinto-opiskelijoille ilmaisia kesäisin.

Kognitiotieteen kautta voi (sivuaineilijanakin) päästä myös [http://www.soberit.hut.fi/kaytettavyyskoulu/ käytettävyyskouluun]. Se on HY:n, TKK:n ja TaiKin välinen yhteistyöprojekti, joka tarjoaa laajan paketin käytettävyysopintoja. Käytettävyyskoulun suorittaminen edellyttää opintoja kussakin kouluun kuuluvassa yliopistossa. Opinnot on tarkoitettu opiskelijoille, joilla kandi on joko valmis tai ainakin hyvässä vauhdissa. Opinnot voidaan paketoida sivuainekokonaisuudeksi laitoksella ilmeisesti mihin tutkintoon tahansa (kandi, maisteri, jatko-opiskelu). Käytettävyyskouluun pääsee tällä hetkellä helposti, koska koulua ei mainosteta tarpeeksi. Sinne otetaan kustakin kolmesta yliopistosta 5 opiskelijaa sisään vuosittain, mutta paikat eivät ole aina edes täyttyneet. Hakeminen on melko yksinkertainen prosessi, jonka ohjeet löytyvät käytettävyyskoulun omilta sivuilta.

Lisäkysymyksiä voi esittää Paula "Shantar" Gómez Gómezille. Löydyn irkistä nickillä Shantar.

== Valtiotieteellinen tiedekunta ==

'''[http://www.valt.helsinki.fi/opisk/kannu/key42.htm Tsekkaa Kannunvalajien oma sivuaine-info]'''

===Johtamisen sivuainekokonaisuus valtiotieteellisessä===
* Johtamisen sivuainekokonaisuutta voi aloittaa opiskelemaan toisena lukuvuonna, mikäli on suorittanut 30op pääaineopintoja.
* Johtamista on mahdollista opiskella lyhyt(25op) tai pitkä(60op) sivuainekokonaisuus.
* Ensimmäinen kurssi, JOS1, järjestetään vain ensimmäisessä periodissa. Tämä kurssi on käytävä ensimmäisenä. Kurssi koostuu kahdesta osasta, luennot+tentti(3op) ja kirjatentti(4op). Kirjatentti tulee suorittaa 6kk luentokurssin päättymisen jälkeen, mikäli ei siinä onnistu niin luento-osuus mitätöityy ja se tulee käydä uudelleen:(.
* Lisätietoja http://www.valt.helsinki.fi/vol/jos/index.htm#JOS-sivuaineena.

====Opiskelijoiden mielipiteitä johtamisen sivuainekokonaisuudesta====
* Johtamisen sivuainehan ei kuulemani mukaan nimenomaan ole käytännön johtamista, vaan pikemminkin johtamisen historiaa ja teoriaa. Joten työelämän valmiudet voivat jäädä oletettua ohuemmaksi. -TKa
* Yliopistolla tosiaan yleisestikkin opetus on teoriaa ja tutkimiseen valmentamista yms... Olen nyt ollu JOS1-kurssilla pari viikkoa ja minun mielestä se on ihan asiallista kamaa, historiaa, teorioita ja jollain tasolla niitä sovellettuna tähän päivään :) -jarno
* Luen itse tenttikirjoja yleissivistykseksi, ja niissä on ihan hauskaa tavaraa. "Peopleware" ja "The Mythical Man-Month" eivät kuulune listaan, mutta saivat kyllä kiinnostumaan aiheesta. --Sini

=== Käytännöllinen filosofia ===

====Yleistä====

Oman kokemukseni mukaan filosofia on yleissivistävää ja se laajentaa yksilön maailmankuvaa kertomalla, millä eri tavoilla asioita on havaittu ja ajateltu kautta ihmiskunnan historian. Filosofiaa opiskelemalla oppii hallitsemaan suuria kokonaisuuksia ja eri abstraktiotasoja, jotka ovat käpistelijälle tärkeitä ominaisuuksia.

Helsingin Yliopisto tarjoaa kaksi eri vaihtoehtoa, käytännöllisen ja teoreettisen filosofian. Erona näillä kahdella on se, että teoreettinen filosofia keskittyy enemmän filosofian historiaan aina Antiikin Kreikasta Valistuksen Ajalle asti, kun taas käytännöllisen puolella vilisee astetta enemmän 1900-luvun filosofeja ja ajatuksia sekä moraalia ja yhteiskuntaa käsitteleviä kysymyksiä. Vaikka laitokset ovat eri tiedekunnissa (teoreettinen humanistisessa ja käytännäöllinen valtiotieteellisessä), molemmat laitokset ovat kuitenkin käytännössä yksi ja sama, osa perusopinnoista ovat jopa yhteisiä.

Vielä pari sanaa asenteesta. Filosofiassa esitetyt teoriat, ajatukset jne. ovat aina VAIN uskomusjärjestelmiä. Ne eivät ole millään tavalla kiveen hakattuja tai tosia, useimmat ajallisesti erittäin vanhat teoriat ovat myös tyhmiä. Filosofian opiskelijan tulee haastaa luennolla esitetyt käsitykset, kohteliaasti tietenkin. Lisäksi luennoitsijat tykkäävät siitä, etteivät kaikki istu aneemisina paikoillaan odottaen luennon loppumista, niinkuin valitettavan usein tilanne on. Tärkeintä on olla aktiivinen sekä kysyä, spekuloida ja argumentoida!

====[http://www.valt.helsinki.fi/opas2007/kfil/ Opinto-opas]====

Perusopinnot (25 op) koostuvat johdantokursseista eri filosofian osa-alueille.

*Johdatus filosofiaan
**Hyvä yleiskurssi, josta kelpaa lähteä kokeilemaan olisiko filosofia juuri ''sinun'' sivuaineesi
*Johdatus filosofian historiaan
**Käydään läpi länsimaisen filosofian historia aika tarkkaan. Kurssin ohessa voi suoritta kirjatentin "Filosofian klassikkoteos", eli määrätystä listasta jonkun (tai useamman) kuuluisan filosofian keskeinen(/keskeiset) teos(/teokset).
*Johdatus etiikkaan
**Etiikan perusteet: Mikä on hyvää, pahaa, oikein, väärin, mitä näistä on ajateltu milloinkin ja miksi.
*Johdatus yhteiskuntafilosofiaan
**Yhteiskuntafilosofian perusteet: Miten yhteiskunta on rakentunut, mikä se on tänäpäivänä.
*Johdatus yhteiskuntatieteiden filosofiaan
**Tieteen filosofia erityisesti ihmistieteitten näkökulmasta
*Johdatus tieto-oppiin
**Perusteet, mitä on ajateltu ja ajatellaan maailman havaitsemisesta ja todellisuuden rakentumisesta. Itsellä ainakin kannatti panostaa oheiskirjallisuuden lukemiseen.
*Johdatus logiikkaan
**Filosofinen logiikka on käpistelijälle hyvä paikka opetella ajattelemaan kuin tietokone, jos ei esimerkiksi matematiikan laitoksen logiikan kurssi nappaa (kuten allekirjoittanut teki). Kurssilla siis about sama sisältö kuin matematiikan vastaavalla, mutta vähän humaanimmalla otteella.

====Tärkeää====

Filosofiasta ei ole erillisiä opintoja sivuaineilijoille, vaan he käyvät kursseja pääaineopiskelijoiden kanssa, joiden olisi tarkoitus suorittaa kaikki perusopinnot ennen ensimmäistä etappia. '''Tästä johtuu, että kaikki peruskurssit järjestetään vain ja ainoastaan syksyllä (lukuun ottamatta Johdatus yhteiskuntatieteiden filosofiaan-kurssia, 3. periodi) ja useimmat näistä kursseista ovat vielä ikävästi kahden periodin mittaisia.''' Tästä syystä filosofia ei sovellu "muiden opintojen ohessa ympäri vuoden"-tyyppiseksi sivuaineeksi, vaan siihen on keskityttävä melkeinpä yksi kokonainen syksy!

Suosittelenkin, että käytte kokeilemassa ensimmäistä johdantokurssia kaikessa rauhassa ja vasta seuraavana vuonna heittäydytte filosofian kiehtovaan maailmaan.

====Erikoista käpistelijälle====

*Kursseille ei tarvi ilmottautua, ellei toisin (luennolla) sanota. Senkun kävelee sisään ja kuuntelee (ja kysyy!).
*Peruskursseilla ei ole laskareita lukuunottamatta Johdatus logiikka-kurssilla. Laskareihin ei tarvitse etukäteen ilmottautua.
*Kursseilla on luentojen lisäksi kirjoja, jotka myös kuulustellaan tentissä (ks. kurssin kotisivu).
*Luennoitsijat saattavat oikeasti käyttäa välillä sanoja joiden todellisen merkityksen vain he itse tietävät. '''Jos et jotain ymmärrä, kysy!'''
*Kurssin tentti on aina aivan viimeisellä luentokerralla, samassa tilassa kuin itse luentokin (ellei tietenkin toisin mainita).
*Materiaalin ilmestyminen verkkoon, asioiden päivittäminen webiin, sähköposti, yms. Internetiin liittyvät asiat ovat humanisteille vähän vaiketa. Pikku käpistelijä saattaa kärsiä muutaman harmaan sortuvan luennoitsijoita patistellessaan.
*Kaikki käytännöllisen kurssit ovat automaattisesti tentittävissä kaikissa valtiotieteellisen tiedekuntatenteissä (ks [http://www.valt.helsinki.fi/tiedekunta/opiskelu/tentit/index.htm aikataulu]), teoreettisen puolestaan humanistisen teidekuntatenteissä (ks. [http://www.helsinki.fi/hum/tiedekuntatentit/index.htm aikataulu]) joihin voi ilmottautua WebOodissa. WebOodissa on tarkoitus Lisätieto-kenttään laittaa ne kirjat, jotka olet valinnut kuulusteltaviksi teoksiksi (ks. aina kurssin kotisivu).

Lisää kysymyksiä Tatu Kairi:lle (etu.suku@cs.helsinki.fi tai Tattoo @ IRCnet)

===Sosiologia===

Oletko löytänyt itsesi joskus sukkuloimasta galleriayhteisöjä läpi? Tuntuvatko IRC-kanavista tehdyt verkkokaaviot jännittäviltä? Tarkentuvatko aistisi, kun kuulet jonkun toteavan "pienet on piirit" yhteisen tuttavuuden löytymisen johdosta? Löydätkö itsesi Facebookista, LinkedInistä, Last.fm:stä, IRC-Galleriasta ja vielä MySpacestakin? Jos jokin edellämainituista kuulostaa edes etäisesti tutulta, harkitse sosiologiaa.

"Sosiologia on yleinen yhteiskuntatiede. Se keskittyy ihmisten muodostamien yhteisöjen sekä niistä johtuvien ilmiöiden tutkimukseen. Sosiologia on kiinnostunut sekä ihmisten toiminnasta yhteisöissä että yhteisöjen vaikutuksista kaikkeen toimintaan. Tieteen tutkimusala on yhteiskuntatieteistä laajin, sillä sosiologiassa voidaan tutkia käytännössä mitä tahansa sosiaalisia ilmiöitä, jotka vaikuttavat joko yhteisöön, yhteiskuntaan tai yksittäisiin ihmisiin." (Kiitos Wikipedia 2001-)

Sosiologia liittyy läheisesti tietojenkäsittelytieteeseen tutkittaessa esimerkiksi ihmisten sähköistä verkostoitumista sekä web-yhteisöjä. Tarvetta osaajille siis on, kun tavalliset ihmiset kansoittavat Internetiä jumalatonta vauhtia (web 2.0 väijyy kulman takana ja p2p on next big thing). Esimeriksi HIIT:n ([http://www.hiit.fi Helsinki Institute of Information Technology]) yksi päätutkimusohjelmista on [http://www.hiit.fi/?q=node/13 Network Societies].

Sosiologiaa aineopintoja voi lukea sivuaineena ilman rajoituksia Valtiotieteellisen puolelta (ts. vapaa sivuaineoikeus). Sosiologiassa ei myöskään joudu erikoistumaan vielä perus- ja aineopintojen aikana, joskin sosiologiasta voi suorittaa myös [http://www.valt.helsinki.fi/staff/alkula/opas/vaestoperus.htm väestötieteen perusopinnot] omana kokonaisuutenaan lukematta muita sosiologian kursseja.

*[http://www.valt.helsinki.fi/opas2007/sosio/sivuperus/ Sosiologian perusopinnot sivuainelukijoille] (25op) (eHopsista löytyvä perusopinnot (75010) on pääaineilijoiden hieman laajempi paketti)
** Sosiologian johdantokurssi (5 op)
*** Tavoite saada yleiskatsaus sosiologiaan tieteenalana sekä tutustua sosiologiseen ajattelutapaan ja sen peruskäsitteisiin.
*** Tarjolla '''periodissa I''' ja '''periodissa III'''
** Väestötieteen johdantokurssi (5 op)
*** Tavoite saada yleiskuva väestön rakenne- ja muutostekijöistä sekä niiden yhteiskunnallisesta merkityksestä, väestöilmiöiden mittaamisesta, keskeisistä väestöteorioista, Suomen väestöstä, kehitysmaiden väestökysymyksistä ja väestötieteen suhteesta muihin yhteiskuntatieteisiin. Opiskellaan nettimatskun avulla ja suoritetaan kirjallisilla tehtävillä.
*** Tarjolla '''periodissa II''' ja '''periodissa IV'''
** Sosiaali- ja kulttuuriantropologian johdantokurssi (5 op)
*** Kurssilla ihmetellään, mitä antropologia on, ja tarkastellaan yhteiskuntaa antropologian näkökulmasta
*** Kahden periodin mittainen kurssi, tarjolla suomeksi '''periodeissa I-II'''
** Sosiologisia näkökulmia ja tutkimuksia, osa 1 (3op)
*** Suoritustapana kirjallisuuskuulustelu yhdestä opuksesta (tällä hetkellä Giddens A : Sociology (4. painos, helmikuun 2007 jälkeen 5. painos))
** Sosiologisia näkökulmia ja tutkimuksia, osa 2 (7op)
*** Kuten osa 1, mutta enemmän kirjoja. Näillä näkymin kirjallisuutena Jokinen K & Saaristo K: Suomalainen yhteiskunta, Alapuro R & Arminen I (toim.): Vertailevan tutkimuksen ulottuvuuksia (s. 1 - 182), Koskinen S ym. (toim.): Suomen väestö (uudistettu laitos)
** Kursseille ei ole eritelty esitietovaatimuksia, mutta oletettavasti johdantokurssit olisi suotavaa käydä ensin.
*[http://www.valt.helsinki.fi/opas2007/sosio/ainesivu/ Sosiologian aineopinnot] (35op)
** En erittele tässä sen tarkemmin, sillä eivät ole ihan heti akuutteja.

Sosiologian laitoksen sivuja: [http://www.valt.helsinki.fi/opas2007/sosio/ Sosiologian opinto-opas] ja [http://www.valt.helsinki.fi/opas2007/sosio/sivuaineena/index.html Sosiologia sivuaineena]

Hakiessa sivuainekokonaisuutta muistettava seuraavaa: "Perusopintojen tai aineopintojen suoritusmerkinnän saamiseksi opiskelijan tulee toimittaa (Sosiologian) laitoksen kansliaan opintosuoritusote, johon on merkitty kokonaisuuteen käytettäviksi tarkoitetut opintojaksot. Kansliassa tarkistetaan kokonaisuuden sisältö ja tallennetaan merkintä opintorekisteriin." Tämän lisäksi tietty myös TKTL:n puolelta nidottava sivuainepaketti tutkintoonsa.

- Jesse Lankila / Kheldysh

* [http://www.valt.helsinki.fi/opisk/kannu/key42.htm Valtsikan sivuaineinfo: opiskelijat kertovat mm. sosiologiasta sivuaineena] - Suvikolta.

===Valtio-oppi===

(Work in progress... -Ville)

Valtiotieteen pitäisi olla ihan avoin sisäänpääsyltään; korjataan jos toisin todetaan.

[http://www.valt.helsinki.fi/opas2007/vol/sivuaineena/index.html Yleistä tietoa]

Valtio-oppi aineena on jaettu kolmeen erikoistumislinjaan: politiikan tutkimus, hallinnon ja organisaatioiden tutkimus ja maailmanpolitiikan tutkimus.

[http://www.valt.helsinki.fi/opas2007/vol/perussivu/ Perusopinnot] 25op.
Vain nämän suorittavan ei tarvitse valita erikoistumislinjaa.
Mikäli aikoo suorittaa myös 35op:n aineopinnot, tulee erikoistumislinja valita JO perusopintoja suoritettaessa.

Ensimmäistä kurssia, "johdatus valtio-oppiin" järjestetään ensimmäisessä ja neljännessä periodissa. Neljännessä periodissa järjestettävä kurssi on ilmeisesti suunniteltu nimenomaan sivuaineopiskelijoille.
Osa kursseista järjestetään ainoastaan kirjallisuustentteinä (ilmeisesti ainakin sivuaineopiskelijoille).

[http://www.valt.helsinki.fi/opas2007/vol/sivuaineop/ Aineopinnot] 35op (tuskin vielä ajankohtainen).

* [http://www.valt.helsinki.fi/opisk/kannu/key42.htm Valtsikan sivuaineinfo: opiskelijat kertovat mm. valtio-opista sivuaineena]

===Viestintä===

Viestintä on erittäin suosittu sivuainevaihtoehto, joten se on valtiotieteellisen tiedekunnan oppiaineista ainoa sosiaalityön lisäksi, jossa ei ole vapaata sivuaineoikeutta tiedekunnan ulkopuolisille opiskelijoille. Viestinnän perusopintokokonaisuuteen(25op) voi hakea,kun omassa pääaineessa onsuoritettuna vähintään 25 opintoviikkoa (45 op) tai kaikkiaan opintoja on suoritettuna vähintään 50 opintoviikkoa (90 op). Valinta tapahtuu ehdot täyttävien kesken todellakin arvonnalla, ja koko lukuvuoden aikana arvotaan korkeintaan 80 paikkaa(tarkoittaa siis 40 keväällä ja 40 syksyllä). Hakemuksen voi jättää kahdesti vuodessa, 30.4 ja 30.11 mennessä.

Ilmoittautuminen viestinnän kursseille tapahtuu web-oodin kautta. Kursseihin kuuluu usein kirjatentti-osioita, joita kurssista riippuen suoritetaan joko erillistentissä tai kurssikokeen yhteydessä. Kirjallisuuden määrä saattaa aluksi tuntua näin käpistelijän näkökulmasta aika hurjalta, mutta kirjat ovat yleensä mielenkiintoisia ja suomeksi kirjoitettuja/käännettyjä. Viestinnän luennot ovat mielenkiintoisia ja luennoilla on hyvä tilaisuus nähdä oppikirjojen kirjoittajat ihan oikeassa elämässä.

Viestinnän opetus järjestetään keskustakampuksella, pitkälti metsätalolla. Materiaalit ja tiedot tulevat ihan mukavasti nettiin, ja jopa poikkeuksista viestitään tehokkaasti. Viestintä liittyy läheisesti myös tietojenkäsittelyyn, ja sitä suositellaankin sivuaineeksi mm. hajautettujen järjestelmien erikoistumislinjalle, mutta myös mille tahansa muullekin erikoistumislinjalle.

sitten vielä pähkinän kuoressa tärkeitä asioita ja huomioita

* hakuajat perusopintoihin päättyvät 30.4 ja 30.11

* viestinnän sivuaineoikeus on määräaikainen, aikaa 25op:n perusopintojen suorittamiseen on 1 1/2 vuotta

* yksittäisen kurssin voi käsittääkseni käydä ilman sivuaineoikeuttakin,sivuaineoikeus mahdollistaa opintokokonaisuusmerkinnän

* samat viestinnän opinnot ovat tarjolla myös avoimella yliopistolla, lukukausien aikana kurssit ovat maksullisia, kesäisin perustutkinto-opiskelijoille ilmaiset

* lisätietoja, kts.
http://www.valt.helsinki.fi/comm/fi/opiskelu/opintojerakenne/sivuaineena.htm
http://www.valt.helsinki.fi/tiedekunta/opiskelu/oikeudet/hyopisekelijat.htm

* ja saa multakin kysellä lisää, terveisin Laura H. =)

Suviko sanoo:

"Viestintä on yleissivistävä oppiaine, jota lukemalla ei opi
suoraan työelämässä tai tietojenkäsittelytieteessä
sovellettavaa asiaa. Se EI OLE tiedotusoppia tai
toimittajakoulu. Moni niin kuvitellut on karvaasti aineeseen
pettynyt. Sivuaineena viestintä on leppoisaa opiskeltavaa,
kunhan ei pelkää kirjojen lukemista tai esseiden
kirjoittamista.
Opintopisteitä irtoaa suhteellisen helposti hyvillä
arvosanoilla, jos mediatutkimus, organisaatioviestintä ja
viestinnän historia kiinnostavat. Viestintä näyttää hyvälle
CV:ssä - kaikki tuntuvat aina olettavan sen tarkoittavan ties
millä alalla relevanttejen asioiden opiskelemista. Osittain
tämä onkin totta sillä valtsikassa oppii puhumaan ja
kirjoittamaan yläpilveä, joka tekee monessa paikassa
vaikutuksen."

==Naistutkimus==

[http://www.helsinki.fi/kristiina-instituutti/index.htm Naistutkimus] on Helsingin yliopistossa opiskeleville [http://www.helsinki.fi/kristiina-instituutti/opiskelu/index.htm vapaa sivuaine], ja siitä on tarjolla valmis 25 opintopisteen laajuinen sivuainekokonaisuus, joka on mahdollista suorittaa yhden (tai n:n) lukuvuoden aikana.

Naistutkimus on oiva sivuaine humanistisesta menosta kiinnostuneille. Yhteys tietojenkäsittelytieteeseen ei ole suora, vaan oppiaineesta on hyötyä ennemminkin esimerkiksi ymmärryksen muodostamisesta subjektiuteen ja toimijuuteen, jota jollain metatasolla joskus voi hyväksikäyttää käpistelyopinnoissakin.

Käpistelyn "matskut ja tulokset verkkoon"-mentaliteetti ei aina päde naistutkimuksen kursseilla. Aitoa humanistista menoa piirtoheitinkalvojen ja monisteiden kopioimisen muodossa siis tiedossa!

Kursseille ilmoittaudutaan Weboodissa. Aiemmin monille niistä on ainakin ollut tunkua, mutta esimerkiksi naistutkimuksen johdantokurssille(WNA110) otetaan kaikki mukaan. Aiheesta kiinnostuneille voikin suositella kyseisen kurssin käymistä, mistä saa hyvän esittelyn aiheeseen. Kurssi on suhteellisen kevyt viiden opintopisteen arvoiseksi, se järjestetään sekä syksyllä, että keväällä, ja kestää molemmat periodit. Tenttiminen tapahtuu humanistisen tiedekuntatenteissä ja tentteihin ilmoittaudutaan tenttikuorella Kristiina-instituuttiin.

Kurssien suoritustavat vaihtelevat. Niitä voivat olla oppimispäiväkirjat, esseet tai lopputentit. Kirjallisten töiden tekemistä ei kannata pelätä: yläasteella tai lukiossa opituilla ilmaisutaidoilla pärjää ihan mainiosti (ainakin perusopinnoissa).

Kristiina-instituutin opintotoimisto ja kopioitavat materiaalit sijaitsevat Topeliassa (tuomiokirkon vieressä oleva sisäpihallinen iso kiinteistö) osoitteessa, Unioninkatu 38 E, 2. krs. Siellä on myös ilmoitustaulu, josta voi käydä katsomassa tuloksia.

== Poikkitieteelliset ==

=== Ympäristötöalan monitieteinen sivuainekokonaisuus ===

Tällainen tuli puheeksi HOPS-ohjaajien verkostotapaamisessa; kuulosti siltä että se voisi toimia myös mielenkiintoisena poikkitieteilijän harjoituspakettina. --Sini

* Maa- ja metsätieteellinen hallinnoi, Janna Pietikäinen koordinaattorina 2008
* Opintoja humanistiselta ja luonnontieteelliseltä puolelta - peruskurssilla luento melkein joka tiedekunnasta (!)
** Esittelee ympäristöalan oppiaineet
* Peruskurssille ilmoittautuminen alkaa elokuussa, avoin kaikille HYläisille

http://www.helsinki.fi/henvi/opetus/tutkintovaatimukset.htm

== JOO-OPINNOT ==
Jos JOO-opinnot kiinnostavat kannattaa kääntyä Heikki Lokin tai Hannu Erkiön puoleen. He osaavat opastaa tarkemmin JOO-opintojen lupien kanssa. JOO-opintoihin teillä siis on oikeus hakea, mutta lupaa opiskella ei automaattisesti myönnetä. Mielenkiintoisille kokonaisuuksille hakeminen tietenkin kannattaa!

===Sivuaine Teknillisen korkeakoulun Tuotantotalouden osastolta===

JOO-sopimuksen kautta tarjotaan hyödyllinen ja mielenkiintoinen, enemmän reaalimaailman ongelmiin ja case-tapauksiin kuin teoreettiseen oppisisältöön painottuva sukellus yritysten talouteen. Opintokokonaisuuden järjestää Teknillinen korkeakoulu (satavuotias huippuyliopisto), luennot pidetään Espoon Otaniemessä hyvien liikenneyhteyksien päässä Kumpulasta ja Helsingin keskusta-alueelta.

Tuotantotalouden sivuaineen perusideana on välittää opiskelijoille laaja-alainen näkemys yrityksen talouteen liittyvistä seikoista aina johtamisen eri perspektiiveistä corporate governanceen ja markkinatutkimuksen perusmenetelmiin. Itse kurssien tarkoituksena on tarjota ikään kuin perustiedot käsiteltävästä alasta: esimerkiksi laskentatoimen 3op:n kurssi ei siis tee suorittajastaan kirjanpitäjää tai KHT-tilintarkastajaa.

Yleisesti kurssin luennot ovat massaluentoja (vain Sinä ja 300 muuta kuulijaa), harjoitusten myötä saatetaan saavuttaa hieman ihmisläheisempi tunnelma. Kurssit suoritetaan (joskus pakollisilla) harjoitustehtävillä ja tentillä, joita saatetaan tarjota myös lauantaisin. Kurssikirjojen hankkimista ei voi liiaksi painottaa – pelkät luentokalvot eivät useinkaan riitä ainoaksi oppimateriaaliksi ja harjoitustehtävissä kirja on useimmiten varsin hyödyllinen.

Sivuaine (20op) muodostuu kaikkiaan kuudesta eri kurssista, käsitellään jokaista erikseen.

TU-22.1101 Tuotantotalouden peruskurssi (4op)

Ensyklopediamainen katsaus tulevaan. Kurssi toimii ”esitietona” kaikille muille sivuaineen kursseille – tietysti muiden kurssien suorittaminen samanaikaisesti on vallan mahdollista. Syksyllä 2007 tarjottiin 17 kappaletta kahden tunnin luentoja. Luennoitsija vaihtuu (miltei) joka kerta; kateederille pääsevät vuorollaan alansa rautaiset asiantuntijat. Luentojen lisäksi tarjotaan laskuharjoituksia 2h viikossa, suoritustapana tentti suomenkielisestä oppikirjasta.

TU-22.1202 Logistiikka (3op)

Kurssin puitteissa syvennytään logistiikkaan käsitteenä ja prosessina, erityisesti yritysjohdon näkökulmasta. Suoritus muiden sivuaineen kurssien mukaisesti kurssikirjaan pohjautuvalla tentillä, logistiikan kurssin tapauksessa vapaaehtoinen harjoitustyö turvaa tenttiarvosanaa. Syksyllä 2007 järjestettiin lisäksi excursio Hartwallin Lahden-tehtaalle.

TU-22.1130 Laskentatoimi ja kannattavuus (3op)

Kurssin tavoitteena on tarjota opiskelijoille kokonaiskuva yrityksen talouden hallinnasta sekä johdon ja rahoittajan laskentatoimen menetelmistä. Tulokulma oppiainekseen on hieman ongelmanratkaisutyyppinen: tavoitteena on opetella analysoimaan yrityksen tilinpäätöstä ennemmin kuin laatimaan sellainen. Tarkasteltavia teemoja ovat mm. yrityksen taloudellisen tilan arvioiminen eri tunnuslukujen perusteella, mainittujen tunnuslukujen määrittäminen sekä niiden manipulointikeinojen tunnistaminen. Suoritus suomenkielisen luentomonisteen pohjalta laadittavan tentin ja vapaaehtoisen kotitehtävän kautta.

TU-22.1120 Projektien suunnittelu ja ohjaus (3op)

Opettaa opiskelijalle projektiliiketoimintaan, erityisesti projektinhallintaan, liittyviä käsitteitä, toimintatapoja ja menetelmiä. Fokuksena tässä ovat erityisesti yksittäiset projektit: harjoitustehtävissä (vuonna 2006 kaksi kappaletta, tehtiin kolmen hengen ryhmissä) tutustuttiin aihepiiriin matkapuhelimen tuotelanseerauscasen kautta. Kovatasoinen luennoitsija ja mielenkiintoinen, ei mitenkään valtavan vaativa aihe. Erityisesti tietojenkäsittelytieteen suhteen kurssin hyöty voi konkretisoitua jo opiskeluvaiheessa.

TU-53.1100 Työpsykologian ja johtamisen perusteet (4op)

Mielenkiintoinen syväluotaus työpsykologiaan ja johtamiseen. Kurssi alkaa kolmella vierailuluennolla, joista kirjoitetaan luentopäiväkirja (hyväksytty/hylätty). Vierailijaluennoitsijat olivat keväällä 2006 todella laadukkaita, lisäksi luento-opetusta ryyditetään erilaisilla videoilla, pohdintatehtävillä ym. Bonuksena kurssi tarjoaa varsin kattavan silmäyksen yhteiskuntatieteisiin ja niiden historiaan. Luentopäiväkirjoineen, harjoitustehtävineen (essee Zimbardon kuulusta Prison Experimentistä parityönä) ja paksun englanninkielisen kurssikirjan ansiosta ehkä työläs, ehkä antoisin sivuaineen kursseista.

TU-91.1002 Markkinointi (3op)

Kurssin nimi kuvaa käsiteltävää aihepiiriä varsin tyhjentävästi. Kurssikirjana maineikas Philip Kotlerin Marketing Management. Jälleen kerran korkeatasoisia vierailijaluennoitsijoita: syksyllä 2006 kuultiin mm. mieleenpainuva luento suomalaisen mainonnan suurmies Ami Hasanilta (mainostoimisto Hasan & Partners). Hivenen työläs mutta ehdottoman opettavainen kurssi, joka suoritetaan kirjaan pohjautuvan tentin ja harjoitustehtävien pohjalta.

Edellä kuvattuihin kursseihin liittyen tarjotaan ajantasaista informaatiota kurssien kotisivuilta (kursseja kannattaa hakea kurssikoodin perusteella!)
http://www.tuta.hut.fi/studies/Courses_and_schedules/courses_and_schedules.php

Osasto on myös laatinut oppaan sivuaineen suorittamiseen liittyen, kannattaa tutustua huolella:
http://www.tuta.hut.fi/studies/JOO-opiskelijat/TUTA-OPAS0708.pdf

Ja jos/kun kysymyksiä herää, kannattaa rohkeasti kääntyä edellisen kirjoittaneen puoleen.

Pekka Alahuhta / pekka.alahuhta a cs.helsinki.fi

==Tiedekuntien opinto-oppaat==
* [http://www.helsinki.fi/ml/opinto-opas/ Matemaattis-luonnontieteellinen]
* [http://www.helsinki.fi/kksc/opas/index.html Kielikeskus] (sisältää linkin Almaan)
* [http://www.helsinki.fi/bio/opiskelu/opinto-oppaat.htm Biotieteellinen]
* [http://www.helsinki.fi/teol/opiskelu/oppaat/ Teologinen]
* [http://www.helsinki.fi/oik/tdk/opiskelu/opinto-opas/index.htm Oikeustieteellinen]
* [http://www.helsinki.fi/farmasia/opiskelu/opiskelijaksi/sivuaineet.htm Farmasian]
* [http://www.helsinki.fi/hum/opetustiedot/oppiainekohtaiset.htm Humanistinen], ilmeisesti lähinnä oppiainekohtaisesti
* [http://www.helsinki.fi/valtiotieteellinen/opiskelu/opas/ Valtiotieteellinen]
* [http://www.mm.helsinki.fi/opiskelu/perustutkinnot/opinto-oppaat.html Maatalous-metsätieteellinen]
* [http://www.med.helsinki.fi/ Lääketieteellä] on useita, löytyvät opiskeluvalikon kautta opintosuuntautumisvaihtoehtojen sivuilta
* Avoin yliopisto, kesäopetuksen opas ja opinto-opas [http://www.avoin.helsinki.fi/opetus/opinto-oppaat.htm täällä]

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:56:47Z

Tentd: /* TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen vuoden kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot]] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

Paremman puutteessa katso kurssin vanhan version kuvaus[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Lukualueet ==
3 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole, sillä kurssi täydentää lähinnä täydentää lukiomatematiikan tietoja kompleksilukujen osalta.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään lähinnä kompleksilukuihin, näiden peruslaskutoimituksiin (yhteenlasku, kertolasku ja liittoluvut) sekä geometriseen tulkintaan. Kurssi on melko helppo ja se suoritetaan perinteisesti pelkästään laskaritehtävillä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssilla ei esitellä edes kompleksilukujen matemaattisia sovelluksia eikä siis myöskään tietojenkäsittelytieteen kannalta relevantteja asioita juuri tule. Kurssi kuitenkin sopii matematiikan opintojen alkuun leppoisan luonteensa vuoksi.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta syventävien opintojen kokonaisuuden lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:56:15Z

Tentd: /* TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen vuoden kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot]] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

Paremman puutteessa ks. [[#Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Lukualueet ==
3 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole, sillä kurssi täydentää lähinnä täydentää lukiomatematiikan tietoja kompleksilukujen osalta.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään lähinnä kompleksilukuihin, näiden peruslaskutoimituksiin (yhteenlasku, kertolasku ja liittoluvut) sekä geometriseen tulkintaan. Kurssi on melko helppo ja se suoritetaan perinteisesti pelkästään laskaritehtävillä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssilla ei esitellä edes kompleksilukujen matemaattisia sovelluksia eikä siis myöskään tietojenkäsittelytieteen kannalta relevantteja asioita juuri tule. Kurssi kuitenkin sopii matematiikan opintojen alkuun leppoisan luonteensa vuoksi.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta syventävien opintojen kokonaisuuden lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:55:59Z

Tentd: /* TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen vuoden kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot]] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

Paremman puutteessa ks. [[Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Lukualueet ==
3 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole, sillä kurssi täydentää lähinnä täydentää lukiomatematiikan tietoja kompleksilukujen osalta.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään lähinnä kompleksilukuihin, näiden peruslaskutoimituksiin (yhteenlasku, kertolasku ja liittoluvut) sekä geometriseen tulkintaan. Kurssi on melko helppo ja se suoritetaan perinteisesti pelkästään laskaritehtävillä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssilla ei esitellä edes kompleksilukujen matemaattisia sovelluksia eikä siis myöskään tietojenkäsittelytieteen kannalta relevantteja asioita juuri tule. Kurssi kuitenkin sopii matematiikan opintojen alkuun leppoisan luonteensa vuoksi.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta syventävien opintojen kokonaisuuden lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Fuksiwiki

2010-08-28T15:54:39Z

Tentd:

{| width="100%" colspan="2" cellspacing="0" style="clear: both;"
| style="margin: 0; padding: 0 0.6em 0 0; vertical-align: top;" |
__NOTOC__
<div style="margin: 0 0 0.4em 0; padding: 1.1em; border: 1px dashed #CCCCCC; background: #F5F5F5;">
'''Fuksiwiki on tarkoitettu fuksien, ja miksei muidenkin opiskelijoiden, opintojen tueksi.

Ensisijaisena tarkoituksena on koota '''Helsingin yliopiston tietojenkäsittelytieteen laitoksen''' uusia opiskelijoita askaruttavat asiat ja neuvot yksiin kansiin. Informaatiota on melko paljon, mutta kaikkea ei ole tarkoitus ahmia heti. Uuden opiskelijan olisi kuitenkin hyvä lukaista ainakin "Infopaketti fukseille" ja "Ohjeita ja opastusta" -kohtien tekstit.

Fuksiwiki on avoin - kuka tahansa voi muokata sisältöä, joskin rekisteröityminen vaaditaan. Tällä hetkellä wikissä on <strong>[[Special:Statistics|{{NUMBEROFARTICLES}}]]</strong> artikkelia.
</div>

<div style="margin: 0 0 0.4em 0; padding: 0.6em; border: 1px solid #CEF2E0; background: #F1FFF1;">
<h2 style="margin: 0 0 0.6em 0; padding: 0.2em 0.4em; border: 1px solid #A3BFB1; background: #CEF2E0; font-size: 120%; font-weight: bold;">Infopaketti fukseille</h2>
* [[Fuksin selviytymispaketti]]
* [[Syksyn 2010 aikataulu|Syksyn aikataulu]]
* [[Tuutorit 2010|Syksyn tuutorit]]
* [[Mallilukujärjestys ensimmäiselle syksylle]]
* [[Neuvontapaja]]
* [[Fuksien kysymää]]

* [[Linkkejä | Tärkeimmät linkit]]
</div>

<div style="margin: 0 0 0.4em 0; padding: 0.6em; border: 1px solid #CEF2E0; background: #F1FFF1;">
<h2 style="margin: 0 0 0.6em 0; padding: 0.2em 0.4em; border: 1px solid #A3BFB1; background: #CEF2E0; font-size: 120%; font-weight: bold;">Ohjeita ja opastusta</h2>
* [[Käyttölupien aktivointi]]
* [[Kursseille ilmoittautuminen]]
* [[IRC-ohjeet]]
* [[Ainejärjestön esittely | TKO-älyn esittely]]
* [[Gurulan esittely]] ja 24h mikroluokat
* [[Yliopisto - suomi -sanakirja]]
* [[Kurssien nimilyhenteet]]
* [[Yliopistoliikunta]]
</div>

| width="45%" style="margin: 0; padding: 0; vertical-align: top;" |

<div style="margin: 0 0 0.4em 0; padding: 0.6em; border: 1px solid #CEDFF2; background: #F1F1FF;">
<h2 style="margin: 0 0 0.6em 0; padding: 0.2em 0.4em; border: 1px solid #A3B0BF; background: #CEDFF2; font-size: 120%; font-weight: bold;">Opiskelu</h2>
* [[Kurssikanavat|Kurssien IRC-kanavat]]
* [[Opintojen malliaikataulu]] eli miten LuK kolmessa vuodessa
* [[Sivuainekuvauksia]]

* [[Kokeet ja arvostelu]]
* [[Opintomateriaaleista]]
* [[Gurulan kirjalainaus]]
</div>

<div style="margin: 0 0 0.4em 0; padding: 0.6em; border: 1px solid #CEDFF2; background: #F1F1FF;">
<h2 style="margin: 0 0 0.6em 0; padding: 0.2em 0.4em; border: 1px solid #A3B0BF; background: #CEDFF2; font-size: 120%; font-weight: bold;">Matematiikkaa</h2>
* [[Matematiikan sivuaineopinnoista]]
* [[Matematiikan ja menetelmätieteen opintosuunnitelmia|Ehdotuksia sivuainekokonaisuudesta]]
* [[Matematiikan kurssit]]

* [[Apua matematiikkaan | Apua matematiikasta kärsiville]]
</div>

<div style="margin: 0 0 0.4em 0; padding: 0.6em; border: 1px solid #CEDFF2; background: #F1F1FF;">
<h2 style="margin: 0 0 0.6em 0; padding: 0.2em 0.4em; border: 1px solid #A3B0BF; background: #CEDFF2; font-size: 120%; font-weight: bold;">Älä hätäile -oppaan tekstit</h2>
* [[Älä hätäile: tietojenkäsittelytiede|Tietojenkäsittelytieteen opiskelusta]]
* [[Älä hätäile: opinto-opas|Täydennyksiä opinto-oppaaseen]], "miten asiat oikeasti menevät"
* [[Älä hätäile: kurssikuvauksia|Kurssikuvaukset]] kaikista pakollisista kursseista
* [[Älä hätäile: kirjoja|Kiinnostavia kirjoja]]
* [[Älä hätäile: TKO-äly|Ainejärjestö TKO-äly]]
</div>

<div style="margin: 0 0 0.4em 0; padding: 0.6em; border: 1px solid #CEDFF2; background: #F1F1FF;">
<h2 style="margin: 0 0 0.6em 0; padding: 0.2em 0.4em; border: 1px solid #A3B0BF; background: #CEDFF2; font-size: 120%; font-weight: bold;">Tietojärjestelmät</h2>
* [[Sähköpostitilit]], ohessa tietoa myös AD-uudistuksesta
* [[MSDNaa ja DreamSpark]]
* [[Neuvoja laitoksen työasemiin]]
* [[Ongelmatilanteita]]
</div>
|}

Matematiikan sivuaineopinnoista

2010-08-28T15:53:22Z

Tentd: /* Pari neuvoa */

Tämä kirjoitus on tarkoitettu auttamaan tietojenkäsittelytieteen fukseja matematiikan sivuaineopintojen aloittamisessa ja sopivien kurssien valitsemisessa. Ne tarjoavat myös erään näkemyksen siitä, mitä jotkut matematiikan kurssit pitävät sisällään ja kuinka relevantteja ne ovat käpistelijän kannalta. Annettuihin neuvoihin kannattaa kuitenkin suhtautua varauksella, sillä alkuperäinen kirjoittaja on päättänyt lukea matematiikkaa keskivertoa laajemman pääaineoppimäärän verran. Tekstin alkuperäisversion laati Jouni Siren. Päivittämiseen ovat osallistuneet ainakin Tomi Jylhä-Ollila ja Anssi Syrjäsalo.

== Miksi matematiikkaa kannattaa opiskella? ==
Monilla käpistelijöillä on tunnetusti kielteinen asenne matematiikkaa kohtaan. Matematiikan kurssit tuntuvat usein teoreettisilta ja olevan vailla kosketuspintaa tietojenkäsittelytieteeseen. Matematiikan laitoksen kurssitarjontaa pidetään pelkästään matemaatikoille suunnattuna. Kuitenkin opintojen loppuvaiheessa useimmat huomaavat, että matematiikan opiskeleminen oli todellakin tarpeellista opintojen kannalta.

On totta, ettei Matematiikan laitos tarjoa sellaista opetusta, mitä käpistelijät tarvitsevat. Kuitenkin niin kauan kuin laitoksellamme ei ole resursseja ja/tai halua järjestää omia matematiikan kursseja, tämän ongelman kanssa on yritettävä tulla toimeen. Parhaiten soveltuvien kurssien valitseminen heti alusta asti on olennaista, varsinkin jos aikomuksena ei ole opiskella matematiikkaa sen itsensä takia.

Tietojenkäsittelytieteessä on kieltämättä monia osa-alueita, joilla perinteistä matematiikkaa tarvitaan vain vähän tai ei lainkaan. Käyttöliittymätutkimus ja ohjelmistotuotanto ovat eräitä esimerkkejä tällaisista aloista. Nekään eivät ole vapaita matematiikasta eivätkä etenkään matemaattisesta ajattelusta. Kaikilla tietojenkäsittelytieteen osa-alueilla on keskeistä samankaltainen abstraktioiden ja analogioiden etsiminen kuin matematiikassakin. Teknisemmillä osa-alueilla matemaattista täsmällisyyttä tarvitaan erityisen paljon, sillä tietokoneet eivät tunnetusti tee sitä mitä niiden halutaan tekevän, vaan mitä niiden käsketään tekevän. Toimiva tietokone tekee asiat täsmälleen niin kuin on käsketty, jolloin pienimmätkin virheet suunnittelussa tai toteutuksessa voivat olla kriittisiä.

Matemaattisen ajattelun lisäksi tarvitaan myös matematiikan osaamista. Tietojenkäsittelytieteestä ei valmistuta pelkäksi ohjelmistotuotanto- tai tietokanta-asiantuntijaksi, vaan tuoreella maisterilla on oltava jokseenkin laajat perustiedot kaikilta tietojenkäsittelytieteen osa-alueilta. Tietojenkäsittelytiede syntyi loogikoiden ajatusleikkinä ja eriytyi matematiikasta omaksi tieteenalakseen vasta joitain vuosikymmeniä sitten. Sen monet osa-alueet ovat edelleen tiiviissä yhteydessä matematiikkaan, eikä niiden perusteidenkaan ymmärtäminen ole mahdollista ilman lukiomatematiikkaa syvempää matematiikan osaamista.

Matematiikan taitoja tarvitaan tietojenkäsittelytieteen opinnoissa jo varhaisessa vaiheessa. Malliopintosuunnitelmassa ensimmäisen vuoden keväälle sijoitetut Tietorakenteet ja Tietokantojen perusteet ovat esimerkkejä tällaisista kursseista. Toisena opiskeluvuonna matematiikkaa tarvitaan jo ainakin Laskennan malleissa ja Rinnakkaisohjelmoinnissa. Lisätietoja tietojenkäsittelytieteen kurssien matemaattisista esitietovaatimuksista ja -suosituksista löytyy [[Millaista matematiikkaa opinnoissa tarvitaan|omalta sivultaan]].

Antti Valmarin artikkeli [http://www.cs.tut.fi/~ava/kirjoitelmia/Arkhimedes01.html Matematiikan tarve ohjelmistotyössä] tarjoaa erään näkemyksen siitä, millaista matematiikkaa tietojenkäsittelytieteessä tarvitaan ja miksi nykyinen tarjonta ei vastaa tarvetta. Artikkeli nostaa esiin monia hyviä pointteja, vaikka yksityiskohdista voikin olla eri mieltä.

== Pari neuvoa ==
Ensimmäinen neuvo on ilmeinen: Lue huolella sekä tietojenkäsittelytieteen että matematiikan opinto-oppaat. Niistä löytyy paljon hyödyllistä informaatiota, joka on ensimmäisellä lukukerralla jäänyt huomaamatta, koska asioita ei silloin ymmärtänyt. Myös Limeksen vaihtoehtoinen Älä Hätäile -opas sisältää runsaasti hyödyllistä tietoa, vaikka matematiikan osuus onkin kirjoitettu matemaatikon näkökulmasta. Sivulla [[Matematiikan kurssit]] on analysoitu, mitkä matematiikan kurssit ovat kiinnostavia tietojenkäsittelytieteilijöiden kannalta.

Jos jokin asia tuntuu vaikealta, syy saattaa hyvinkin olla siinä, että asia on vaikea. Ongelman kanssa ei kuitenkaan kannata tuskailla yksin, vaan siihen kannattaa etsiä apua. Muut samalla kurssilla olevat tai sen jo käyneet opiskelijat ovat yksi vaihtoehto. Matematiikan laitoksella heitä kannattanee etsiä opiskelijahuoneesta, joka löytyy Exactumin 3. kerroksesta huoneesta C338 (Komero). Matematiikan laitoksella pidetään myös laskupajaa, jonne voi mennä hakemaan apua käynnissäolevien kurssien tehtäviin. Tietojenkäsittelytieteen laitoksella voi suunnata Gurulaan, jonka vakioasukkaat päinvastaisista huhuista huolimatta myös opiskelevat.

Vielä yksi neuvo: Nuku riittävästi. Vaikka 5-6 tunnin yöunilla pärjääkin pitkään, opiskeleminen on huomattavasti helpompaa ja motivoivampaa hyvin nukkuneena. Matematiikan opiskeleminen vaatii aivan toisella tavalla keskittymistä kuin monesta muusta aineesta tuttu tiiliskivien selailu ja esseiden kirjoittaminen. Kirjoissa ja monisteissa on vähän sivuja, mutta se vähä on (mahdollisimman) tiivistä asiaa ja tulee osaamisen lisäksi myös ymmärtää. Kymmenen sivua tunnissa on jo kova lukutahti ja kertoo siitä, ettei mitään ongelmakohtia ole tullut vastaan.

== Kurssien suorittaminen ==
Matematiikan kurssien suorittamiseen on kaksi vaihtoehtoista tapaa: 1) luentokurssi laskareineen ja kurssikokeineen tai 2) erilliskoe. Luentokurssilla luentoja on tyypillisesti neljä tai viisi tuntia viikossa koko lukukauden ajan, minkä lisäksi on laskuharjoituksia kahden viikkotunnin verran. Sekä luennot että laskuharjoitukset ovat vapaaehtoisia, mutta laskareissa käymisestä saa yleensä jonkin verran ylimääräisiä pisteitä kurssikoepisteiden päälle. Nämä pisteet voivat osoittautua juuri kriittiseksi kurssin läpäisyn kannalta.

Kurssikokeiden etuna on, että tyypillinen kymmenen opintopisteen kurssi jaetaan kahteen tai kolmeen osaan, jolloin kokeeseen on vähemmän luettavaa. Toisaalta matematiikan koealueet eivät yleensä ole kovin laajoja; opintopistettä kohti luettavaa tulee vain 10-20 sivua. Vaikka suurin osa tästä täytyykin osata, useimmat kurssit pystyy suorittamaan erilliskokeella huomattavan vähällä vaivalla. On järkevää kokeilla kurssien suorittamista sekä kurssikokeilla että erilliskokeella, jotta löytäisi itselleen parhaiten sopivan opiskelutekniikan.

Matematiikan yleistenttejä järjestetään helmi-, heinä- ja syyskuuta lukuunottamatta joka kuukausi. Syksyisin luennoitavat kurssit voi tenttiä loka-, tammi- tai huhtikuussa, kevään kurssit taas marras-, maalis- tai toukokuussa. Joulukuun tentti on varattu joillekin syventävien opintojen kursseille, kun taas kesän tenteissä voi suorittaa minkä kurssin tahansa. Yleistentteihin, kuten matematiikan kursseillekin, ilmoittaudutaan WebOodissa.

== Matemaattinen kielenkäyttö ja ajattelu ==
Opettele lukemaan ja kirjoittamaan matematiikkaa. Se mikä näyttää harjaantumattomalle silmälle vain läjältä käsittämättömiä koukeroita, on todellisuudessa tekstiä, jota luetaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. On totta, että matemaattinen kieli pyrkii tiiviyteen ja täsmällisyyteen selkeyden ja luettavuuden kustannuksella. Yksi ainoa symboli saattaa tarkoittaa sanaa, lausetta tai kokonaista kappaletta. Täsmällisyyttä korostetaan myös käyttämällä aina samoja fraaseja samassa tilanteessa.

Kannattaa muistaa, että järkeviä symboleita on paljon vähemmän kuin matemaattisia käsitteitä, muuttujista puhumattakaan. Niinpä samoja symboleita käytetään, uudelleenkäytetään ja väärinkäytetään tarkoittamaan lukuisia eri asioita. Onkin aina hyvä selittää symboleiden merkitys sanallisesti, jos ei koe sen käyvän (tarkastajalle) selväksi kontekstin perusteella.

Muista, ettet tee vaikutusta keneenkään käyttämällä matemaattista kieltä. Symboleiden ja lyhenteiden runsas käyttö synnyttää helposti vaikutelman, ettei kirjoittaja itsekään tunne asiaa kunnolla, vaan yrittää peittää sitä korostetun matemaattisella kielenkäytöllä. Kaikenlaiset pienet tyylirikot ja poikkeamat vakiintuneista käytännöistä paljastavat kuitenkin kokemattomuuden. Jos jonkin asian voi ilmaista lyhyesti ja täsmällisesti myös suomeksi, niin kannattaa tehdä. Assarisetä tai -täti arvostaa sitä ja saattaa jopa muistaa sinua pisteillä.

Täsmällinen matemaattinen kieli antaa helposti kuvan siitä, että matemaattinen ajattelu olisi mekaanista ja tiukasti rajattua. Tämä mielikuva on kuitenkin selvästi väärä. Vaikka joidenkin väitetään pystyvän ajattelemaan formaalisti, useimmat tarvitsevat intuitiivisen idean matemaattisesta tuloksesta tai rakenteesta pystyäkseen hyödyntämään sitä. Voidaan siis hyvällä syyllä sanoa, että matemaattinen ajattelu tapahtuu pääosin intuitiivisella tasolla.

Täsmällisyyttäkin tarvitaan. Intuitiivisesti hyvältä näyttävä idea ei välttämättä toimi, ellei tilannetta rajoita jollain tavalla. Osan rajoitteista pystyy löytämään intuitiivisesti, mutta rajoitteiden täydentämiseen ja niiden riittävyyden osoittamiseen tarvitaan yleensä täsmällisempää otetta. Matemaattisen ajattelun "mekaaninen" puoli astuu tässä kohdassa mukaan peliin.

Matemaattiset ideat ovat usein monimutkaisia ja monivivahteisia. Niiden välittäminen ihmiseltä toiselle edellyttää, että vastaanottaja ymmärtää perusidean lisäksi myös yksityiskohdat ja vivahteet. Koska ihmisten välinen viestintä on luonnostaan epämääräistä ja häviöllistä, tarvitaan matemaattisten ideoiden välittämiseen jokin riittävän täsmällinen ja rajoitettu kieli. Vaikka matemaattinen kieli ei kuvastakaan kovin hyvin matemaattista ajattelua, ei hyviä vaihtoehtoja ole olemassa.

Yliopistomatematiikka on hyvin poikkeavaa esimerkiksi Aalto-yliopiston teknillisen korkeakoulun "insinöörimatematiikasta". Lukion matematiikka on perusteellisesti juuri insinöörimatematiikkaa. Esimerkiksi matematiikan laitoksen kursseille tyypillinen joukko-opillinen lähestymistapa sivuutetaan pitkän matematiikan oppimäärässäkin kokonaan. Hyvät lukiotiedot eivät takaa menestymistä yliopistomatematiikassa; vastaavasti huonot lukiotiedot eivät takaa, että yliopistomatematiikka olisi erityisen mahdotonta. Menestymisessä (monelle tarkoittaa kurssin läpäisyä) lienee kuitenkin kyse enemmän ennakkoluuloista ja motivaatiosta. Motivaation olisi tietysti hyvä olla kunnossa.

== Muita näkökulmia ==
Matematiikan opiskelu kannattaa aloittaa hyvissä ajoin, koska se kehittää matemaattista ajattelukykyä, josta on hyötyä lähes kaikilla TKTL:n kurseilla varsinkin Algoritmit ja koneoppiminen -linjan syventävissä opinnoissa Lisäksi joidenkin kurssien (esim. [[Matematiikan kurssit#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]] ja [[Matematiikan kurssit#Logiikka I|Logiikka I]]) varsinaiset asiat ovat kävelleet vastaan myös tietojenkäsittelytieteen perus- ja aineopintojen kursseilla.

Matematiikkaan orientoitunut käpistelijä pääsee kursseista läpi, jos jaksaa avata kirjan, mutta tyypillisen, matematiikkaa hieman vierastavan, tietojenkäsittelijän on syytä varata aikaa erityisesti laskareiden tekoon. Eikä ole ollenkaan tavatonta, että laskaritehtävät tulevat kokeessa vastaan sellaisenaan.

Matematiikan laitoksen aineopintojen kurssit eivät välttämättä ole keskiverto matematiikan pääaineopiskelijallekaan helppoja. Mainittakoon myös, että Johdatus diskreettiin matematiikkaan -kurssin kohdalla läpipääsyprosentti on matematiikan laitoksella ollut jotakuinkin samaa luokkaa kuin meillä tietojenkäsittelytieteen laitoksellakin.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:50:57Z

Tentd: Lukualueet

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen vuoden kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot]] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Lukualueet ==
3 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole, sillä kurssi täydentää lähinnä täydentää lukiomatematiikan tietoja kompleksilukujen osalta.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään lähinnä kompleksilukuihin, näiden peruslaskutoimituksiin (yhteenlasku, kertolasku ja liittoluvut) sekä geometriseen tulkintaan. Kurssi on melko helppo ja se suoritetaan perinteisesti pelkästään laskaritehtävillä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssilla ei esitellä edes kompleksilukujen matemaattisia sovelluksia eikä siis myöskään tietojenkäsittelytieteen kannalta relevantteja asioita juuri tule. Kurssi kuitenkin sopii matematiikan opintojen alkuun leppoisan luonteensa vuoksi.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta syventävien opintojen kokonaisuuden lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:41:11Z

Tentd: /* Soveltuvuus */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen vuoden kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot]] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta syventävien opintojen kokonaisuuden lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:40:17Z

Tentd: syksyn => vuoden

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen vuoden kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot]] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:39:27Z

Tentd: /* Soveltuvuus */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot]] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:39:14Z

Tentd: /* Soveltuvuus */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta]] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:38:50Z

Tentd: /* Soveltuvuus */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

Kurssin [[#Diskreetti matematiikka II|aiemmasta versiosta] sanottua: Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että kurssi on suositeltava kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:36:40Z

Tentd: /* Vanhat kurssit */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla. Useimmat vanhoista kursseista, kuten Lineaarialgebra ja Diskreetti matematiikka II on pilkottu kahteen osaan, joten näkemykset näistä vanhoista kursseista pätevät jossain määrin myös uudempiin kursseihin. Asiasisältö ei varsinaisesti ole vuosien varrella muuttunut.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:32:39Z

Tentd: /* Syventävät opinnot */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

Kuilu syventävien ja aineopintojen välillä on usein suuri, joten syventäville kursseille ei kannata rynnätä kylmiltään. Usein esimerkiksi Matemaattisen logiikan linjan kursseilla ei ole erityisiä esitietovaatimuksia, mutta opiskelijoilla oletetaan olevan "matemaattista yleissivistystä tai kypsyyttä". Käytännössä tämä tarkoittaa, että esim. aineopintoja on jo suoritettuna eikä matemaattinen ajattelu ole vierasta.

Matematiikasta voi suorittaa 60 op laajuisen syventävien opintojen kokonaisuuden käymällä 40 opintopisteen edestä syventäviä kursseja ja kirjoittamalla 20 op arvoisen sivuainetutkielman (ns. "sivuainegradu").

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:20:32Z

Tentd: /* Analyysin harjoitustyö */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op, vapaasti Analyysi I:n suorituksen jälkeen

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:19:04Z

Tentd: /* Sisältö */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T15:18:47Z

Tentd: /* Perusopinnot */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineena opiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =

'''Huom.''' Vaikka Matematiikan laitos määritteleekin osan kursseista perusopinnoiksi, voi menetelmätieteiden ja matematiikan perusopintokokonaisuuden muodostaa vapaasti muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

Matematiikan laitoksella on jostain erikoisesta syystä perusopintotasolla kolme erilaista analyysin kurssia (sekä näiden jatkokurssit). Yleensä pää- ja sivuaineopiskelijat käyvät luentokurssit Analyysi I ja II. Osa on myös suorittanut sivuaineopiskelijoille suunnatun Matemaattisen analyysin kurssin, joka on kuulemma hiukan helpompi. ''Jos jollain on ajantasaista tietoa näiden eroista, päivittäkää wikiä.''

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===
Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Ani harva onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===
Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===
Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===
Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===
Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "kuinka monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin [[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===
Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===
Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet, joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti. Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===
Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===
Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla. Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen, vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota. Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä, sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T13:07:27Z

Tentd: Rungot kursseille JTL ja JTP

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== TODO: Johdatus todennäköisyys laskentaan ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== TODO: Johdatus tilastolliseen päättelyyn ==
5 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===

=== Sisältö ===

=== Soveltuvuus ===

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===

Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===

Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==

10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===

Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''
=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T13:04:19Z

Tentd: "Kurssit "-otsikko poistettu

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===

Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===

Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==

10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===

Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''
=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T13:01:20Z

Tentd:

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
10+10 op, syksy+kevät

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
5 op, syksy, periodi II

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Kombinatoriikka ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssi on jatkoa JDM-kurssille. Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===

Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

Suositeltavaa on, että aineopintojen kursseja on jo jonkin verran takana, sillä kurssilla ajoittain esitellään yhteyksiä mm. logiikkaan ja topologiaan (tosin esitiedot näistä eivät ole välttämättömiä).

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===

Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
6 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
10 op, kevät

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==

10 op, satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===

Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
10 op, suoritetaan loppukokeella

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''
=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
10 op, kevät

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
10 op, syksy

''Huom: Kurssit [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]] ja [[#Verkot|Verkot]] korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
10 op, syksy

''Huom: Uudet kurssit [[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]] (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
10 op, syksy

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
10 op, kevät

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:54:05Z

Tentd: /* Esitietovaatimukset */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Kombinatoriikka ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===

Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kurssista Laskennan mallit on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===

Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==

(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===

Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===

Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''
=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:53:31Z

Tentd: Lisätty VT

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Kombinatoriikka ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===

Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===

Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Vaativuusteoria ==

(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===

Kurssilla ei ole varsinaisia esitietovaatimuksia, mutta koska kyse on syventävästä matematiikan kurssista on suositeltava käydä tarpeeksi aineopintojen kursseja ennen. Erityisesti Logiikka I ja Algebra I ovat hyödyllisiä.

=== Sisältö ===

Kurssilla käsitellään nimensä mukaisesti vaativuusteoriaa, joka tutkii kuinka vaikeita erilaiset laskennalliset ongelmat ovat. Kurssilla käytetään mallina TKTL:n Laskennan mallit -kurssilta tuttua Turingin konetta sekä esitellään tunnetuimmat vaativuusluokat P, NP ja PSPACE. Lisäksi käsitellään NP-täydellisyyttä ja PSPACE-täydellisyyttä. Lopuksi tutustutaan säännöllisiin kieliin ja äärellisiin tilakoneisiin (tällä kurssilla erikoistapaus Turingin koneesta).

Kurssilla saatetaan myös esitellä lyhyesti deskriptiivistä vaativuusteoriaa, jolloin (matemaattisen) logiikan kursseista on hyötyä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssin aihepiiri kuuluu tietojenkäsittelytieteilijöiden yleissivistykseen. Kurssin lähestymistapa on kuitenkin hyvin matemaattinen (todistukset tehdään tarkasti ilman käsien heiluttelua), joka saattaa olla vierasta käpistelijöille. Lisäksi kurssin tekniikat ovat usein tästä syystä melko matalalla tasolla, joten varsinaista yleiskuvaa vaativuusteoriasta ei saa, mutta vahvat perustiedot kylläkin.

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''
=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:42:26Z

Tentd: Syventävät opinnot: sorttaus ja LaTen päivittäminen

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Kombinatoriikka ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===

Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin, kuten myös kevään 2010 kurssi.

=== Soveltuvuus ===

Mielipide 1: Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

Mielipide 2: Kurssi on erittäin hyödyllinen ottaen huomioon sen, että Tietojenkäsittelytieteen laitoksella ei enää juurikaan opeteta kurssia Laskennan teoria. Muutenkin laskennan teoriaa käsitellään vain lyhyesti Laskennan mallit -kurssilla. Jatkokurssiksi sopii myös [[#Vaativuusteoria|Vaativuusteoria]].

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''
=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:38:19Z

Tentd: /* Verkkoteoria */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Kombinatoriikka ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===

Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

''Huom. Tämä ei ole sama kurssi kuin [[#Verkot|Verkot]].''
=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:37:37Z

Tentd: /* Aineopinnot */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Kombinatoriikka ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===
Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla keskitytään nimenomaan enumeratiiviseen kombinatoriikkaan, jossa lasketaan erilaisten äärellisten joukkojen ominaisuuksia. Esimerkkejä käsiteltävistä ongelmista ovat "monta tapaa on jakaa 5 kortin käsiä korttipakasta" tai "kuinka monella tavalla n hengen ryhmä voidaan jakaa k hengen joukkueisiin". Keskeisiä käsitteitä ovat permutaatiot, kombinaatiot ja binomikertoimet.

Ajoittain kurssilla tarkastellaan myös käpistelijöitä kiinnostavia verkko-ongelmia, kuten riippumattomia joukkoja, klikkejä ja verkon värityksiä.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi on hyödyllinen varsinkin algoritmiikasta kiinnostuneille.

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Verkot ==
5 op, luennoidaan satunnaisesti

=== Esitietovaatimukset ===

Johdatus diskreettiin matematiikkaan.

=== Sisältö ===

Kurssilla esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia. Keskeisiä käsitteitä ovat suuntaamattomat ja suunnatut verkot (suhteikot), puut sekä erilaiset kulut (Hamiltonin ja Eulerin).

=== Soveltuvuus ===

Kurssi soveltuu erittäin hyvin tietojenkäsittelytieteilijöille, sillä verkot ovat kenties tietojenkäsittelytieteen yleisimpiä struktuureja ja malleja (kuten Tietorakenteet kurssilta tulee tutuksi).

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:23:51Z

Tentd: /* Perusopinnot */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

== Matematiikka tutuksi ==
5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tietojenkäsittelytieteilijöille kurssi soveltuu matematiikan opintojen alussa suoritettuna osaksi matematiikan tai menetelmätieteiden sivuainekokonaisuutta.

=== Sisältö ===
Johdattelee yliopistomatematiikkaan. Kurssilla käsitellään pintapuolisesti useita eri matematiikan osa-alueita ja tekniikoita, kuten joukko-oppia, kuvauksia, todennäköisyyslaskentaa ja logiikkaa.

=== Soveltuvuus ===
Kurssi sopii hyvin matematiikan opintojen alkuun varsinkin, jos matematiikan opiskelusta on pitkä aika.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:19:48Z

Tentd: /* Esitietovaatimukset */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.
Tosin koska kurssi järjestetään 2. periodissa, kannattaa myös harkita jotain matematiikan kurssia syksyn 1. periodiin.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:18:58Z

Tentd: /* Soveltuvuus */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

Aihepiiriä käsitellään lisää kursseilla [[#Verkot|Verkot] ja [[#Kombinatoriikka|Kombinatoriikka]].

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:17:09Z

Tentd: /* Esitietovaatimukset */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:16:22Z

Tentd: /* Esitietovaatimukset */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[#Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I|Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]]

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:15:12Z

Tentd: /* Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]].

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T12:15:01Z

Tentd: Linis I ja II

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Sopii hyvin ensimmäiseksi matematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===

Kurssilla alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä sekä matriisilaskennan perusteilla. Tämän jälkeen siirrytään vektoreihin ja vektoriavaruuksiin. Kurssin tärkeimpiä työkaluja on Gauss-Jordanin eliminointimenetelmä. Tällä ratkotaan useimmat kurssin ongelmat, kuten lineaariset yhtälöryhmät.

=== Soveltuvuus ===

Lineaarialgebran perusteet kuuluvat tietojenkäsittelijän yleissivistykseen. Kurssi on erittäin hyödyllinen, mikäli ei ole ennen tutustunut aihepiiriin. Selkeimpiä sovelluskohteita ovat tietokonegrafiikka ja koneoppiminen.

== Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II ==

5 op, syksy ja kesä (avoin)

=== Esitietovaatimukset ===

[[Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I]].

=== Sisältö ===

Kurssi jatkaa siitä mihin aiemmassa osassa jäätiin. Keskeisiä käsitteitä ovat aliavaruudet, sisätulot, determinantit ja ominaisarvot.

=== Soveltuvuus ===

Kurssi muodostaa kokonaisuuden edeltävän osan kanssa, joten sovelluskohteet ovat samat.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T11:56:08Z

Tentd: /* Soveltuvuus */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

<div class="toclimit-3">__TOC__</div>

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T11:50:34Z

Tentd: /* Analyysin peruskurssi */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Ks. [[Analyysi I ja II sekä Analyysin harjoitustyö]]

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T11:50:18Z

Tentd: /* Perusopinnot */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

== Kurssit ==

= Perusopinnot =
Huom. Vaikka alla olevat kurssit on määritelty Matematiikan laitoksella perusopinnoiksi, matematiikan perusopintokokonaisuuden voi käytännössä aina muodostaa myös muistakin kursseista (esim. sekoittamalla perus- ja aineopintoja).

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

Esitietovaatimukset
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===

Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

Monet ovat nähneet tämän kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===

Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

== Analyysi II ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I tai vastaavat tiedot.

=== Sisältö ===
Kurssin keskeisiä aiheita ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

== Analyysin harjoitustyö ==
2 op

=== Esitietovaatimukset ===
Analyysi I.

=== Sisältö ===

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

=== Soveltuvuus ===

Vapaaehtoinen sivuaineopiskelijoille.

== Matemaattisen analyysin kurssi ja jatkokurssi ==
(10+10 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===

Ei ole. Virallisten esitietovaatimusten mukaan lukion lyhytkin matematiikka riittää.

=== Sisältö ===

Sivuaineopiskelijoille (tilasto- ja kansantaloustieteilijöille) suunnattu versio Analyysin kursseista.

=== Soveltuvuus ===

Ks. [[Analyysi I ja II sekä Analyysin harjoitustyö]]

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T11:25:34Z

Tentd: Korjattiin johdanto

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan eräiden matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleiden tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoiden mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

== Kurssit ==

= Perusopinnot =

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

Monet ovat nähneet kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ja II ==
(10+10+2 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Analyysi II:n keskeiset aiheet ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T11:24:11Z

Tentd: Sortattu kurssit tasoittain

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan erään matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleen tietojenkäsittelytieteen opiskelijan mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

== Kurssit ==

= Perusopinnot =

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

Monet ovat nähneet kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ja II ==
(10+10+2 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Analyysi II:n keskeiset aiheet ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

= Aineopinnot =

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

= Syventävät opinnot =

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

= Vanhat kurssit =

Alla olevia kursseja ei enää luennoida tai ne ovat korvautuneet muilla kursseilla.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

Matematiikan kurssit

2010-08-28T11:11:42Z

Tentd: /* Kurssit */

Tässä esitellään lyhyesti useimmat matematiikan perus- ja aineopintotason kurssit sekä muutama syventävä kurssi. Esitettyjä näkemyksiä ei kannata ottaa absoluuttisina totuuksina, vaan erään matematiikkaa poikkeuksellisen paljon sivuaineenaopiskelleen tietojenkäsittelytieteen opiskelijan mielipiteinä.

'''Huom: Tieto on kurssien nimien ja sisällönkin osalta lukuvuonna 2010-2011 jo ainakin osittain vanhentunutta.''' Sivu on jätetty historialliseksi referenssiksi.

== Kurssit ==
__NOTOC__

= Perusopinnot =

* [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]
* [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]]
* [[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]

= Aineopinnot =

* [[#Algebra I|Algebra I]]
* [[#Lineaarialgebra II|Lineaarialgebra II]]
* [[#Logiikka I|Logiikka I]]
* [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]
* [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]]
* [[#Topologia I|Topologia I]]
* [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]

= Syventävät opinnot
* [[#Laskettavuuden teoria|Laskettavuuden teoria]]
* [[#Matemaattinen logiikka|Matemaattinen logiikka]]
* [[#Todennäköisyysteoria|Todennäköisyysteoria]]
* [[#Verkkoteoria|Verkkoteoria]]
* [[#Reaalianalyysi I|Reaalianalyysi I]]

= Vanhat kurssit =

* [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]]
* [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]]
* [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]
* [[#Optimointi I|Optimointi I]]

== Algebra I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssi on kuitenkin luonteeltaan abstrakti, joten jokin toinen kurssi kannattaa olla pohjalla ennen algebran aloittamista.

=== Sisältö ===
Algebra I alkaa logiikan ja lukuteorian alkeilla, minkä jälkeen seuraavat alkeet joukko-opista ja kuvauksista. Näitä käsitellään vain sen verran kuin kurssin aikana tullaan tarvitsemaan. Pääosassa kurssilla ovat algebralliset perusstruktuurit: ryhmät, renkaat ja kunnat. Näillä tarkoitetaan joukkoja, joissa on määritelty tietyt ehdot täyttävät laskutoimitukset. Kurssin ydinasia onkin käsitys siitä, mitä ehtoja laskutoimitusten tulisi täyttää, jotta tutut laskusäännöt olisivat voimassa.

=== Soveltuvuus ===
Algebra I antaa valmiuksia symboliseen laskentaan ja korkeamman tason matemaattisten abstraktioiden ymmärtämiseen. Tietokantojen, ohjelmointikielten tai laskennan teoriasta tai symbolisesta tekoälystä kiinnostuneelle kurssi on lähes välttämätön. Muutenkin se on suositeltava matemaattisen ajattelutavan harjaannuttamiseksi.

Ensimmäisen syksyn kurssiksi Algebra I ei useimmille sovi. Aloituskynnys on todennäköisesti liian korkea kurssin teoreettisen luonteen takia. Matemaattiseen ajattelutapaan ja yliopistomatematiikkaan kannattaa siis tutustua ennen kurssin aloittamista.

== Analyysin peruskurssi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Mitään esitietovaatimuksia tai -suosituksia ei ole. Analyysin peruskurssi sopii hyvin ensimmäiseksi yliopistomatematiikan kurssiksi.

=== Sisältö ===
Analyysin peruskurssi käsittelee suunnilleen samoja aiheita kuin teoreettisempi [[#Analyysi I ja II|Analyysi I]]. Keskeistä sisältöä ovat yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta ja sarjat.

=== Soveltuvuus ===
Analyysin perusteet kuuluvat tietojenkäsittelytieteilijän matemaattiseen yleissivistykseen. Suoranaisia sovelluskohteita niille löytyy esimerkiksi tietokonegrafiikasta, suorituskykyanalyysista ja signaalinkäsittelystä. Jokin analyysin kurssi olisikin hyvä löytyä jokaisesta matematiikan sivuaineoppimäärästä.

Monet ovat nähneet kurssin lähinnä lukiomatematiikan kertauksena, joka ei tarjoa työläyteensä nähden mitään olennaista hyötyä.

== Analyysi I ja II ==
(10+10+2 op, syksy+kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Lukiomatematiikkaan tottuneelle aloituskynnys voi kuitenkin olla korkea, joten jonkin kevyemmän kurssin suorittaminen tätä ennen saattaa kannattaa.

=== Sisältö ===
Analyysi I käsittelee lukujonoja, raja-arvoja, jatkuvuutta, derivoituvuutta ja alkeisfunktioita. Samalla se toimii johdatuksena matemaattiseen ajatteluun ja todistustekniikoihin. Lähestymistapa on selvästi teoreettisempi kuin mihin lukiossa tottui. Opettajien ja tutoreiden varoituksissa on perää; kurssi voi olla raskas ja vaikea. Kysymys ei ole kuitenkaan asioiden vaikeudesta; valtaosa siitä on jo lukiosta tuttua. Vaikeus ja raskaus tulevat lähinnä aloituskynnyksen korkeudesta. Asiat muuttuvat huomattavasti helpommiksi, jos onnistuu pääsemään yli kulttuurishokista.

Analyysi II:n keskeiset aiheet ovat sarjat ja integrointi. Tavaraa on paljon, uutta asiaa tulee enemmän kuin Analyysi I:ssä ja käsittelyvauhti on nopeahko. Kuitenkin jos selvisi Analyysi I:stä, selviää todennäköisesti tästäkin.

Viimeiset 2 op saa harjoitustyöstä, joka on sivuaineopiskelijoille vapaaehtoinen. Aiheen voi noutaa halutessaan jo syksyn Analyysi I:n toisen välikokeen jälkeen, mikä saattaa kannattaa. Aihettaan ei nimittäin saa itse valita ja kevään materiaalista saa paljon kieroutuneempia kysymyksiä. Käytännössä harjoitustyö on hieman laskari- tai koetehtävää laajempi tehtävä, josta tulee esittää parin sivun mittainen täsmällinen ratkaisu. Harvempi onnistuu välttymään iteraatioilta.

Luennoijat laittavat luentomuistiinpanonsa usein verkkoon, mutta niistäkään ei yleensä ole hyvän oppikirjan korvikkeeksi. Niinpä luentojen seuraaminen onkin Analyysi I:ssä ja II:ssa poikkeuksellisen suositeltavaa.

=== Soveltuvuus ===
Analyysi I ja II sekä [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] käsittelevät olennaisesti samoja asioita, edelliset kaksi syvemmin ja teoreettisemmin, jälkimmäinen taas pintapuolisemmin ja soveltavammin. Kun Analyysiä on viime aikoina helpotettu ja muutettu opiskelijalähtöisemmäksi, se alkaa olla yhä useammalle opiskelijalle Analyysin peruskurssia suositeltavampi vaihtoehto.

== Vektorianalyysi ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Myös [[#Topologia I|Topologia I]]:n tiedoista on hyötyä.

=== Sisältö ===
Vektorianalyysi käsittelee useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Lähestymistapa on käytännöllisempi kuin Analyysi I+II:ssa, mikä on ymmärrettävää. Merkittävä osa yhden muuttujan funktioiden teoriasta yleistyy nimittäin vähällä vaivalla useamman muuttujan funktioille, joten samaa asiaa ei kannata käsitellä uudestaan yhtä tarkasti. Kannattaa huomioida, ettei kurssin suomenkielistä oppikirjaa ole ollut saatavilla enää vähään aikaan, vaan opiskelija joutuu joko turvautumaan kopiokoneeseen tai metsästämään itse vastaavaa kirjallisuutta.

=== Soveltuvuus ===
Vektorianalyysi ei ole enää samalla tavalla yleissivistystä kuin Analyysi I ja II. Kurssin tietoja tarvitaan samoilla aloilla kuin analyysin perusteitakin, mutta esimerkiksi ohjelmistotekniikkaan tai käyttöliittymiin erikoistuvalle niistä ei ole suurempaa hyötyä. Vektorianalyysia voi suositella lähinnä tutkijoiksi aikoville sekä teoreettisemmille aloille erikoistuville. Matematiikasta sivuainelaudaturin lukevien kannattaa erityisesti käydä Vektorianalyysi.

== Diskreetti matematiikka I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Kurssin korvaa lukuvuodesta 2005-2006 alkaen [[#Johdatus diskreettiin matematiikkaan|Johdatus diskreettiin matematiikkaan]]''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Kaikista matematiikan kursseista tämä lienee se kevyin ja helpoin.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka I ei käsittele niinkään diskreettiä matematiikkaa kuin matematiikan perusteita. Alkeet käsitellään niin logiikasta, joukko-opista, relaatioista, funktioista, kombinatoriikasta, induktiosta kuin
rekursiostakin. Kurssi tarjoaa näin helpon tien matemaattisen ajattelun
kehittämiseen ja madaltaa näin monien matematiikan ja teoreettisen
tietojenkäsittelytieteen kurssien aloituskynnystä.

=== Soveltuvuus ===
Tämä on se kurssi, jolla jokaisen käpistelijän kannattaisi matematiikan
opintonsa aloittaa. Valitettavasti Diskreetti I luennoidaan jostain käsittämättömästä syystä keväisin. Luentomoniste on kuitenkin poikkeuksellisen selkeä, joten yksi vaihtoehto on hankkia se ja käydä tenttimässä kurssi jo marraskuun alun yleistentissä.

== Diskreetti matematiikka II ==
(10 op, syksy)

''Huom: Kurssit Kombinatoriikka ja Verkot korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Kurssin käsittelytapa on kuitenkin
teoreettinen ja perusasiat ohitetaan nopeasti, joten ensimmäiseksi kurssiksi
Diskreetti II:ta ei kannattane ottaa. [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti matematiikka I]] lienee edeltävistä kursseista hyödyllisin, mutta myös muilla
kursseilla omaksuttu matemaattinen ajattelu auttaa.

=== Sisältö ===
Diskreetti matematiikka II käsittelee varsinaisen diskreetin matematiikan osa-
alueista kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa, jättäen automaattiteorian ja
formaalit kielet tietojenkäsittelytieteen kursseille. Kombinatoriikassa mennään
pidemmälle kuin muilla cumu-kursseilla (Diskreetti I ja
[[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]]), vaikka perusteisiin edelleen jäädäänkin. Verkkoteoriaa käsitellään noin puolet kurssista, mutta tässäkään ajassa ei ehditä peruskäsitteitä ja -tuloksia pidemmälle. Kurssi perustuu verkosta saatavilla olevaan luentomonisteeseen, joka on matematiikan luentomonisteeksi suhteellisen luettava.

=== Soveltuvuus ===
Alaa tuntematon olettaisi verkkoteoriaa tarvittavan
tietojenkäsittelytieteessä lähinnä tietoverkkojen puolella. Niissäkin sitä
tarvitaan, mutta viimeistään Tietorakenteet-kurssilla pitäisi huomata, kuinka
laajalti verkkoja tietojenkäsittelytieteessä käytetään. Lienee siis
ymmärrettävää, että Diskreetti II on suositeltava kurssi kaikille
tietojenkäsittelytieteen matemaattisista perusteista kiinnostuneille ja ennen
kaikkea algoritmien erikoistumislinjan valinneille.

== Johdatus diskreettiin matematiikkaan ==
(5 op, syksy, periodi II)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tämä on ehkä suositeltavin ensimmäinen yliopistomatematiikan kurssi käpistelijöille.

=== Sisältö ===
Kurssilla tutustutaan eräisiin diskreetin matematiikan osa-alueisiin. Vastaan tulee relaatioita, kuvauksia, induktiota, rekursiota sekä perusteita kombinatoriikasta ja verkkoteoriasta.

''Paremmin tietävät voivat tarkentaa.''

=== Soveltuvuus ===
Tämä on ainoa matematiikan kurssi, joka on vuonna 2005 voimaan astuneissa
tutkintovaatimuksissa kaikille käpistelijöille pakollinen. Tämä on hyvästä
syystä, sillä monet kurssin asioista kävelevät vastaan jo monilla fuksivuoden
kursseilla. Yksi näistä kursseista on fuksikevään Tietorakenteet, johon
osallistumisen edellytyksenä on mm. Johdatus diskreettiin matematiikkaan (tai
vaihtoehtoisesti esitietokoe).

== Laskettavuuden teoria ==
(10 op, satunnaisesti)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole, mutta matemaattisen
ajattelutavan on syytä olla tuttu. Erityisesti
[[#Matemaattinen logiikka|Matemaattisesta logiikasta]] ja TKTL:n
kursseista Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit sekä Laskettavuuden
teoria on hyötyä.

=== Sisältö ===
Laskettavuutta, ratkeavuutta ja rekursiivisuutta matemaatikon
näkökulmasta. Turingin koneiden ja ohjelmien sijaan lähtökohtina ovat
rekursiiviset funktiot ja eräänlainen RAM-kone. Monet asiat saadaan
todistettua tyylikkäämmin tai helpommin kuin TKTL:n Laskennan
teoriassa. Syksyn 2002 kurssi perustui Väänäsen 80-luvulla tekemiin
luentomuistiinpanoihin.

=== Soveltuvuus ===
Tämän kurssin käymisestä ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos laskennan teoria jostain syystä kuitenkin kiinnostaa, tämän kurssin käyminen on ehdottoman suositeltavaa jo yksin sen tarjoaman vaihtoehtoisen lähestymistavan takia.

== Lineaarialgebra I ==
(10 op, syksy)

''Huom: Uudet kurssit Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) ja II (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Lineaarialgebra I on kurssina sieltä helpommasta päästä ja tuntuu lähes
suoralta jatkolta lukiomatematiikalle.

=== Sisältö ===
Linis I alkaa lineaarisilla yhtälöryhmillä, joista edetään matriiseihin. Tämän
jälkeen ovat vuorossa vektorit, vektoriavaruudet ja sisätulot. Lopuksi
käsitellään vielä lineaarikuvauksia ja determinantteja. Käsittelytapa on
yliopistokurssiksi usein suhteellisen käytännöllinen ja muistuttaa siten
lukiomatematiikkaa. Teoriakin esitetään, mutta laskumenetelmät ovat etusijalla.
Vaikeinta lienee kurssilla käytettävän kielen sisäistäminen — lineaarialgebrassa kun on matematiikaksi poikkeuksellisen paljon uusia termejä. Moni asia kurssilla ratkeaa yhdistämällä matriisit ja muuttamalla näin saatu matriisi redusoituun porrasmuotoon Gauss-Jordanin eliminointimenetelmällä.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra kuuluu käpistelijän matemaattiseen yleissivistykseen,
vaikkakaan ei yhtä vahvasti kuin analyysin perusteet. Tietokonegrafiikka on
selkein sovelluskohde, mutta muitakin löytyy. Tiedonhallinnan syventävillä kursseilla sitä tulee kuulemma tämän tästä vastaan. Toisaalta vektorit ja matriisit tarjoavat kätevän tavan esittää matemaattisesti, että samat tai samankaltaiset operaatiot suoritetaan kerralla useille alkioille.

== Lineaarialgebra II ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]].
Lisäksi [[#Algebra I|Algebra I]] on vahvasti suositeltava.

=== Sisältö ===
Tällä kurssilla käsitellään lineaarialgebraa abstraktimmalla tasolla kuin Linis
I:ssä. Vektoriavaruuksien tilalla ovat nyt modulit, jollainen muodostuu
yhdistämällä sopivasti Algebra I:stä tuttuja ryhmiä ja renkaita. Matematiikan
laitos tuntuu edustavan lineaarialgebrassa sitä pedagogista suuntausta, että
asiat opetetaan ensin konkreettisten esimerkkien avulla ja tämän jälkeen
käsitellään asiat uudelleen yleisemmällä ja abstraktimmalla tasolla.

Oppimateriaalin valintaan kannattaa kiinnittää tavallista enemmän huomiota.
Esimerkiksi syksyn 1999 luentomoniste hukuttaa lukijansa syntaktiseen
suohon, eikä yleensä vaivaudu kertomaan, mitä käsitteet itse asiassa
tarkoittavat. Matematiikkaa on kyllä mahdollista opiskella pelkkänä
symbolisena manipulointina ymmärtämättä asioita lainkaan, mutta tällaisen
lähestymistavan hyöty on vähintäänkin kyseenalainen.

=== Soveltuvuus ===
Lineaarialgebra II on syventävien opintojen kurssi, joten suoranaista hyötyä käpistelijälle
on vaikea löytää. Jos aikoo erikoistua sellaisen alan teoriaan, millä tarvitaan
lineaarialgebraa, kurssin käyminen on perusteltua. Muuten sitä voi suositella
lähinnä heille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta sen itsensä takia.

== Logiikka I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
Ei ole. Tällä kurssilla pärjännee hyvin lyhyenkin matematiikan pohjalta, vaikka matemaattinen ajattelu onkin tarpeen. Kannattaa muistaa, että filosofeillakin on omat pakolliset logiikan kurssinsa, jotka pureutuvat yhdessä syvemmälle kuin tämä peruskurssi.

=== Sisältö ===
Moni aineopintotason kurssi käsittelee logiikan perusteita, mutta Logiikka I on ainoa, joka esittää ne kattavasti. Pääpaino on propositio- ja predikaattilogiikassa, joskin kurssin loppupuolella saatetaan vilkaista joitain laajennoksia ja muunnelmia. Propositiologiikassa operoidaan pelkillä vakiosymboleilla, kun taas predikaattilogiikka tuo mukanaan muuttujat ja predikaatit. Muutaman keskeisen teoreettisen tuloksen ohella käsitellään varsin kattavasti totuustaulut, semanttiset puut ja luonnolliseksi päättelyksi kutsuttu järjestelmä, joka on toisinaan käsittämättömän kömpelö. (Luonnollisessa päättelyssä yritetään johtaa jokin lause tehdyistä oletuksista. Semanttisia puita käytettäessä puolestaan selvitetään, millä ehdoilla annettu lause on tosi.)

Hannele Salmisen ja Jouko Väänäsen kirja ''Johdatus logiikkaan'' on kaksipiippuinen juttu. Joiltain osiltaan se soveltuu hyvin itseopiskeluun ja mahdollistaa selvästi kurssia nopeamman etenemisen. Toisaalta kun vastaan tulee "induktiolla lauseen rakenteen suhteen", on aika hakata päätä seinään. Samat asiat olisi voinut todistaa huomattavasti selkeämmälläkin tavalla.

=== Soveltuvuus ===
Nykymatematiikka perustuu logiikkaan. Tietojenkäsittelytiede lähti liikkeelle
loogikoiden ajatusleikeistä. Eksakti ajattelu ja formaali esitystapa täytyy
hallita, jos haluaa pärjätä tietojenkäsittelytieteen opinnoissa. Esimerkiksi
tietokantojen ja ohjelmointikielten teoria sekä perinteinen tekoäly ovat
täynnä logiikkaa. Lienee siis varsin luonnollista, että logiikka kuuluu
jokaisen käpistelijän yleissivistykseen.

== Matemaattinen logiikka ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Varsinaisia esitietovaatimuksia ei ole. Käytännössä logiikan perustietojen hallitseminen esimerkiksi kurssilta [[#Logiikka I|Logiikka I]] on lähes välttämätöntä, eikä muidenkaan kurssien käyminen ole ainakaan haitaksi. Kysymys on joka tapauksessa syventävien opintojen kurssista, joten matemaattisen ajattelutavan omaksumista voidaan pitää välttämättömänä edellytyksenä kurssille osallistumiseen.

=== Sisältö ===
Periaatteessa kurssin sisältö vastaa hyvin Jouko Väänäsen kirjaa ''Matemaattinen logiikka'', mutta käänteisessä järjestyksessä. Läpi käydään jo logiikan peruskurssilla tutuksi tulleet logiikan perusteet hieman teoreettisemmasta (ja monien mielestä keinotekoisesti vaikeutetusta) näkökulmasta. Myöhemmin kurssilla törmätään muun muassa rekursiivisiin funktioihin ja laskettavuusteoriaan. Mielipiteitä on monia, mutta ainakin omasta mielestäni kirjan lähestymistapa on mielekkäämpi kuin kurssilla viime aikoina käytetty.

=== Soveltuvuus ===
Matemaattista logiikkaa voidaan suositella ennen kaikkea logiikasta kiinnostuneille. Syventävien opintojen kurssien joukossa se lienee sieltä helpoimmasta päästä, vaikka loogikoille tyypillisen käsittämätön notaatio yrittääkin parhaansa mukaan sabotoida ymmärrystä. Hyötyä kurssista saattaa olla, jos esimerkiksi laskennan teoria, tietokantojen mallinnus, ohjelmointikielten periaatteet tai perinteinen tekoäly kiinnostavat.

== Mitta ja integraali ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]]. [[#Topologia I|Topologia I]]:tä suositellaan vieläkin vahvemmin kuin Vektorianalyysin yhteydessä.

=== Sisältö ===
Janan luonnollinen mitta on sen pituus, tasokuvion mitta pinta-ala ja
kolmiulotteisen kappaleen mitta tilavuus. Tällä kurssilla yleistetään mitan
käsite ja tarkastellaan erityisesti Lebesguen mittaa, joka perustuu
luonnolliseen geometriseen mittaan. Mittateorian käsittelyn jälkeen määritellään
integroituvuus ja integraali kaikissa mitallisissa joukoissa ja todistetaan
monia integraalien ominaisuuksia, joita olisi hankala käsitellä aikaisempien
määritelmien perusteella.

=== Soveltuvuus ===
Mitta ja integraali on analyysin syventävien opintojen peruskurssi. Jos aikoo suorittaa
matematiikassa syventävien opintojen sivuainekokonaisuuden, tämä on eräs suositeltavimmista kursseista
erikoistumissuunnasta riippumatta. Erityisesti jos aikoo perehtyä
todennäköisyyslaskentaan syvällisesti, kuten älykkäiden järjestelmien kohdalla on usein tarpeen, mittateoria tulee hallita.

== Optimointi I ==
(10 op, syksy)

=== Esitietovaatimukset ===
Differentiaalilaskentaa esimerkiksi kurssilta [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]] tai [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]], sekä
[[#Lineaarialgebra I|Lineaarialgebra I]]. Useamman muuttujan differentiaalilaskennasta kurssilta [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on hyötyä, jos on käynyt Analyysi I+II:n Analyysin peruskurssin asemasta, mutta Vektorianalyysin käyminen rinnakkain optimoinnin kanssa riittää.

=== Sisältö ===
Lineaarista ja kvadraattista optimointia ja vastaavia kuljetusongelmia. Kurssi
käsittelee lähinnä perusteoriaa ja perusmenetelmiä, joista keskitytään lähinnä
simplex-algoritmiin. Tarkempaa kuvausta en osaa antaa, sillä jätin kurssin
kesken puolenvälin aikoihin motivaation puutteen takia. Lineaarista
optimointia on tapana suorittaa tietokoneilla, ei kynällä ja paperilla.

=== Soveltuvuus ===
Ennen kaikkea tarvitaan istumalihaksia, sillä laskuharjoitukset sisältävät
runsaasti mekaanista laskentaa. Ne ovat kuitenkin käytännössä välttämättömiä,
sillä algoritmien toiminnan sisäistäminen on olennainen osa kurssia. Jos
numeerinen matematiikka tai tieteellinen laskenta kiinnostaa, on Optimointi I
varmastikin hyödyllinen kurssi.

== Reaalianalyysi I ==
(6 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]].

=== Sisältö ===
Reaalianalyysi I käsittelee reaalianalyysin perusteita teoreettiselta
näkökannalta. Samaan aikaan luennoidaan myös Sovelletun analyysin perusteet,
joka lienee suunnattu enemmän differentiaaliyhtälöitä tietokoneilla ratkoville
soveltaville matemaatikoille. Teoreettisen lähestymistavan huomaa esimerkiksi
siitä, että vaikka kurssilla oppii uusia asioita, saattaa käsitys joidenkin
niistä merkityksestä jäädä puuttumaan.

Siinä missä Mitta ja integraali keskittyi integrointiin, laajennetaan tällä
kurssilla derivoinnin ja derivaatan käsitettä. Lisäksi käsitellään
L<sup>p</sup>-avaruuksia sekä absoluuttisesti jatkuvia, rajoitetusti
heilahtelevia ja muita "kiltisti" käyttäytyviä funktioita. Kurssia vaivaa lievä
päämäärättömyys, vaikka monet käsiteltävät asiat ovatkin aikaisemmilla
kursseilla saatujen tulosten yleistyksiä.

=== Soveltuvuus ===
Reaalianalyysi I on luontevaa jatkoa Mitalle ja integraalille, joten samat
perustelut pätevät senkin kohdalla. Toinen jatkovaihtoehto Mitan ja integraalin
jälkeen olisi Sovelletun analyysin perusteet, mutta minulla ei ole käsitystä sen
sisällöstä tai soveltuvuudesta.

== Todennäköisyyslaskenta I ==
(10 op, kevät)

''Huom: Uudet kurssit Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) ja Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) korvaavat yhdessä tämän kurssin.''

=== Esitietovaatimukset ===
Joko [[#Analyysi I ja II|Analyysi I ja II]] tai [[#Analyysin peruskurssi|Analyysin peruskurssi]]. Kurssista [[#Vektorianalyysi|Vektorianalyysi]] on myös jonkin verran hyötyä, sillä Todennäköisyyslaskenta I:ssä tarvitaan paikoin hieman useamman muuttujan integraalilaskentaa.

=== Sisältö ===
Todennäköisyyslaskennan perusteita varsin käytännönläheisellä tasolla. Teoria
jää usein vaille todistuksia, jotka edellyttäisivät mittateoriaa esimerkiksi
kurssin [[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] laajuudessa. Todennäköisyyslaskennan alkeiden lisäksi käsitellään satunnaismuuttujia, kombinatoriikkaa sekä tavallisimpia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia. Kurssin sisältö vaihtelee suuresti luentokertojen välillä, mutta Pekka Tuomisen kirja ''Todennäköisyyslaskenta'' on aina vähintäänkin hyvää oheislukemistoa.

=== Soveltuvuus ===
Todennäköisyyslaskentaa tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi
rinnakkaisjärjestelmien ja algoritmien analysoinnissa sekä älykkäissä
järjestelmissä. Sen suorittaminen onkin suositeltavaa, jos aikoo opiskella
matematiikkaa minimilaajuista perusopintokokonaisuutta enempää.

== Todennäköisyysteoria ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Mitta ja integraali|Mitta ja integraali]] ja [[#Todennäköisyyslaskenta I|Todennäköisyyslaskenta I]].

=== Sisältö ===
Lyhyesti sanottuna Todennäköisyysteoriassa käsitellään
todennäköisyyslaskentaa mittateorian pohjalta. Kurssi on laudatur-kurssiksi
siinä mielessä helppo, että jos mittateoria ja todennäköisyyslaskenta ovat
ennestään tuttuja, niiden yhdistäminen tapahtuu varsin intuitiivisesti.
Uusia käsitteitä ei tule kovinkaan paljon Todari I:n päälle, vaan kysymys
on ennemminkin pohjan rakentamisesta aiemmin opitun alle.

=== Soveltuvuus ===
Todari II on hyödyllinen kurssi erityisesti älykkäiden järjestelmien
linjalla, jossa kaikki perustuu oikeastaan tilastotieteeseen ja
todennäköisyyslaskentaan. Todari I:ssä opittiin lähinnä soveltamaan
todennäköisyyslaskentaa, kun taas tällä jatkokurssilla päästään käsiksi
asian ytimeen ja opitaan ehkä ymmärtämäänkin sitä.

== Topologia I ==
(10 op, kevät)

=== Esitietovaatimukset ===
[[#Analyysi I ja II|Analyysi I]].
Kurssi on luonteeltaan abstrakti, joten muidenkin matematiikan kurssien
käyminen ennen tätä on suositeltavaa.

=== Sisältö ===
Avoimuuden, jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet yleistetään metrisissä ja
normiavaruuksissa, minkä jälkeen johdetaan suuri joukko lähinnä intuitiivisia
tuloksia. Kurssi on luonteeltaan teoreettinen ja abstrakti samaan tapaan kuin
[[#Algebra I|Algebra I]]. Monet voivat kokea tämän kurssin vaikeutena, mutta tässäkin tapauksessa kysymys on ennemminkin korkeasta kynnyksestä kuin asioiden vaikeudesta. Mitä enemmän matematiikkaa on opiskellut ennen Topologia I:tä, sitä matalammaksi kynnys käy, kun tottuu asioiden käsittelyyn yleisellä tasolla. Jussi Väisälän kirja ''Topologia I'' sopii hyvin itseopiskelumateriaaliksi.

Kurssi käsittelee oikeastaan enemmän analyysin peruskäsitteitä kuin topologiaa. Voidaan perustellusti sanoa, että Topologia I suhtautuu topologiaan samalla tavalla kuin [[#Diskreetti matematiikka I|Diskreetti I]] diskreettiin matematiikkaan.

=== Soveltuvuus ===
Topologia I on kurssi, joka on tarkoitettu lähinnä helpottamaan analyysin
opiskelua. Tietojenkäsittelytieteen opinnoissa siitä ei ole juuri apua, ellei
sitten tietokonegrafiikassa ja laskennallisessa geometriassa. Jos kuitenkin
aikoo suorittaa matematiikassa syventävät opinnot, tämä kurssi on hyvä sisällyttää
oppimäärään.

== Verkkoteoria ==
(10 op, suoritetaan loppukokeella)

=== Esitietovaatimukset ===
Tiukkoja esitietovaatimuksia ei ole, mutta [[#Diskreetti matematiikka II|Diskreetti matematiikka II]] on vahvasti suositeltava. Koska kysymys on laudatur-erikoiskurssista, kurssilla oletetaan useimpien alojen perusteet tutuiksi. Logiikan, lineaarialgebran, topologian ja todennäköisyyslaskennan alkeiden osaaminen on hyödyksi.

=== Sisältö ===
Tämä kurssi käsittelee nimensä mukaisesti verkkoteoriaa Diestelin kirjan
''[http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/ Graph Theory]'' pohjalta. Diskreetti II:ssa käsitellyt asiat ohitetaan nopeasti ensimmäisessä luvussa, minkä jälkeen käsitellään syvemmin parituksia, yhtenäisyyttä, tasoverkkoja, värityksiä, satunnaisverkkoja ja Ramseyn teoriaa. Laudatur-kurssin oppimateriaaliksi kirja on poikkeuksellisen selkeä ja ymmärrettävä.

=== Soveltuvuus ===
Matematiikan laudatur-erikoiskurssille tuleva toivottavasti tietää mitä sieltä
on hakemassa. Verkkoteoria selventää jonkin verran esimerkiksi Algoritmien
suunnittelussa ja analyysissa vastaan tulevia käsitteitä, mutta hyöty ei ole
kovinkaan suuri. Kuitenkin jos matematiikka kiinnostaa, sitä kannattaa
opiskella kun siihen on mahdollisuus.